Ciąg geometryczny

6. Ciągi

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym kolejny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez pewną stałą liczbę rzeczywistą q, zwaną ilorazem.

Weźmy przykładowy ciąg geometryczny (a_{n}): (3, 6, 12, 24, 48, ...). Wyraz a_{2} = 6 powstał z wyrazu a_{1} = 3 poprzez pomnożenie go przez liczbę 2. Wyraz a_{3} = 12 powstał z wyrazu a_{2} = 6 poprzez pomnożenie go przez tę samą liczbę 2. I tak dalej. W tym ciągu iloraz q = 2.

Ciąg geometryczny - wzory

Poniżej znajduje się zestawienie najważniejszych wzorów dla ciągu geometrycznego:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}\quad (wzór ogólny ciągu geometrycznego)

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = q dla a_{n} \ne 0\quad (iloraz ciągu geometrycznego)

a_{m}=a_{n}\cdot q^{m-n}\quad (dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego)

(a_{n})^{2} = a_{n-1}\cdot a_{n+1} dla n \ge 2\quad (trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego)

S_{n} = a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q} dla q \ne 1\quad (suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego)