5. Ciągi.
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym kolejny wyraz powstaje poprzez przemnożenie poprzedniego wyrazu przez pewną stałą liczbę rzeczywistą q, zwaną ilorazem. Zatem w ciągu geometrycznym (a_{n}): (3, 6, 12, 24, 48, ...) wyraz a_{2} = 6 powstał z wyrazu a_{1} = 3 poprzez przemnożenie go przez liczbę 2, wyraz a_{3} = 12 powstał z wyrazu a_{2} = 6 również poprzez przemnożenie go przez liczbę 2 i tak dalej. W tym ciągu iloraz q = 2.
Ciąg geometryczny - wzory
Poniżej znajduje się zestawienie najważniejszych wzorów dla ciągu geometrycznego:
a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}\hspace{4mm} (wzór ogólny ciągu geometrycznego)
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = q\hspace{4mm} (iloraz ciągu geometrycznego)
a_{m}=a_{n}\cdot q^{m-n}\hspace{4mm} (dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego)
(a_{n})^{2} = a_{n-1}\cdot a_{n+1} dla n \ge 2.\hspace{4mm} (trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego)
S_{n} = a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q} dla q \ne 1.\hspace{4mm} (suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego)