0% przygotowania do matury

Dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego

Dwa dowolne wyrazy ciągu geometrycznego spełniają zależność:

a_{m}=a_{n}\cdot q^{m-n}

Znając tę zależność policzymy iloraz q mając dane dwa wyrazy ciągu geometrycznego.

Zadanie. Oblicz q jeśli w ciągu geometrycznym a_{6}=4 i a_{9}=-108.

a_{9} = a_{6}\cdot q^{9-6}

-108 = 4\cdot q^3

4q^3 = -108\hspace{4mm}|:4

q^3=\frac{-108}{4}=-27

q^3=-27\hspace{4mm}|\sqrt[3]{\phantom{x}}

q=\sqrt[3]{-27}=-3\hspace{4mm} (bo (-3)^3=-27)

Zadanie. Oblicz q jeśli w ciągu geometrycznym a_{5}=6 i a_{7}=\frac{3}{8}.

a_{7} = a_{5}\cdot q^{7-5}

\frac{3}{8} = 6\cdot q^2

6q^2 = \frac{3}{8}\hspace{4mm}|:6

q^2=\frac{3}{8}:6=\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}

q^2=\frac{1}{16}\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

|q|=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}

q=\frac{1}{4}\hspace{4mm}\vee\hspace{4mm}q=-\frac{1}{4}

Tym razem otrzymaliśmy dwie możliwe wartości ilorazu q.

Możemy też obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego, gdy mamy dany jeden z wyrazów i iloraz q.

Zadanie. Oblicz a_{3} jeśli w ciągu geometrycznym a_{6}=-8 i q = 3.

a_{3}=a_{6}\cdot q^{3-6}

a_{3}=-8\cdot 3^{-3}=-8\cdot (\frac{1}{3})^3=-8\cdot \frac{1}{27}=\frac{-8}{27}=-\frac{8}{27}