Dziedzina wyrażenia wymiernego
Dziedziną wyrażenia wymiernego \frac{P(x)}{Q(x)} są wszystkie wartości x, dla których mianownik wyrażenia jest różny od 0.
Aby wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, należy znaleźć miejsca zerowe mianownika, czyli rozwiązać równanie wielomianowe:
Q(x) = 0
Otrzymane wartości należy wykluczyć z dziedziny.
Przykład. Znajdź dziedzinę wyrażenia wymiernego \frac{x+2}{(x-1)(x+5)}.
Mianownik musi być różny od 0. Zatem obliczamy, dla jakich wartości x mianownik się zeruje:
(x-1)(x+5) = 0
x - 1 = 0\quad \vee\quad x + 5 = 0
x = 1\quad \vee\quad x = -5
Zatem wartości x = 1 oraz x = -5 należy wykluczyć z dziedziny:
D = \mathbb{R}\setminus\{-5, 1\}
Przykład. Znajdź dziedzinę wyrażenia wymiernego \frac{x+2}{x^{3}-x^{2}-12x}.
Mianownik musi być różny od 0. Zatem obliczamy, dla jakich wartości x mianownik się zeruje:
x^{3}-x^{2}-12x = 0
x(x^{2}-x-12) = 0\quad (wyłączamy wspólny czynnik przed nawias)
x(x-4)(x+3) = 0\quad (postać iloczynowa funkcji kwadratowej)
x = 0\quad \vee\quad x-4 = 0\quad \vee\quad x+3=0
x = 0\quad \vee\quad x = 4\quad \vee\quad x = -3
Zatem wartości x = 0, x = 4 oraz x = -3 należy wykluczyć z dziedziny:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-3, 0, 4\right\}