Dziedzina wyrażenia wymiernego
Dziedzina wyrażenia wymiernego \frac{P(x)}{Q(x)} to wszystkie wartości x, dla których wyrażenie wymierne jest dobrze określone. Ponieważ w wyrażeniach wymiernych występuje mianownik, to musimy zadbać o to, by był on różny od 0. Zatem zanim przystąpimy do jakichkolwiek działań z wyrażeniem wymiernych musimy obliczyć dla jakich x jego mianownik się zeruje i otrzymane wartości wyrzucić z dziedziny (która domyślnie obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste). Ponieważ w mianowniku mamy wielomian Q(x), to należy rozwiązać równanie wielomianowe: Q(x) = 0.
Przykład. Znajdź dziedzinę wyrażenia wymiernego \frac{x+2}{(x-1)(x+5)}.
Mianownik musi być różny od 0. Zatem liczymy dla jakich x mianownik się zeruje:
(x-1)(x+5) = 0
x - 1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x + 5 = 0
x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -5
Zatem powyższe wartości x należy odrzucić z dziedziny: D = \mathbb{R}\setminus\{-5, 1\}.
Przykład. Znajdź dziedzinę wyrażenia wymiernego \frac{x+2}{x^{3}-4x^{2}-x+4}.
Mianownik musi być różny od 0. Zatem liczymy dla jakich x mianownik się zeruje:
x^{3}-4x^{2}-x+4 = 0
x^{2}(x-4)-(x-4) = 0\hspace{4mm} (grupujemy wyrazy)
(x-4)(x^{2}-1) = 0
(x-4)(x-1)(x+1) = 0\hspace{4mm} (do czynnika (x^{2}-1) zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów)
x-4 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x-1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+1=0
x = 4\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x=-1
Zatem powyższe wartości x należy odrzucić z dziedziny: D = \mathbb{R}\setminus\left\{-1, 1, 4\right\}.