Dzielenie wyrażeń wymiernych

2. Wyrażenia algebraiczne

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Aby podzielić dwa wyrażenia wymierne należy:

Wyznaczyć ich dziedzinę
Zapisać liczniki i mianowniki w postaci iloczynowej (rozłożyć wielomiany na czynniki)
Zamienić dzielenie na mnożenie przez odwrotność drugiego wyrażenia, wykonać mnożenie i skrócić wspólne czynniki (jeśli występują)

W skrócie:

\frac{P(x)}{Q(x)} : \frac{W(x)}{G(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{G(x)}{W(x)}

Przy wyznaczaniu dziedziny należy pamiętać, że:

mianowniki obu wyrażeń muszą być różne od zera
licznik drugiego wyrażenia również musi być różny od zera

Jeżeli mamy \frac{P(x)}{Q(x)} : \frac{W(x)}{G(x)}, to musi zachodzić Q(x) \ne 0 \wedge G(x) \ne 0 \wedge W(x) \ne 0.

Dlaczego wymagamy również warunku W(x) \ne 0? Gdyby W(x) = 0, to drugie wyrażenie byłoby równe 0, a dzielenie przez 0 jest niedozwolone.

Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-3}{x} : \frac{2-x}{x+4}.

1. Dziedzina. Mianownik pierwszego wyrażenia:

x \neq 0

Licznik drugiego wyrażenia:

2-x \neq 0

x \neq 2

Mianownik drugiego wyrażenia:

x+4 \neq 0

x \neq -4

Zatem:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-4, 0, 2\right\}

2. Wszystkie wielomiany są stopnia pierwszego, więc nie wymagają dalszego rozkładu.

3. Dzielenie. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność i wymnażamy:

\frac{x-3}{x} : \frac{2-x}{x+4} = \frac{x-3}{x} \cdot \frac{x+4}{2-x} = \frac{(x-3)(x+4)}{x(2-x)}

Żadnych wspólnych czynników nie można skrócić, więc jest to wynik końcowy.

Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x^{2}+3x} : \frac{x^2-3x}{x^{2}-9}.

1. Dziedzina. Mianownik pierwszego wyrażenia:

x^{2}+3x = 0

x(x+3) = 0

x = 0\quad \vee\quad x+3 = 0

x = 0\quad \vee\quad x = -3

Licznik drugiego wyrażenia:

x^{2}-3x = 0

x(x-3) = 0

x = 0\quad \vee\quad x-3 = 0

x = 0\quad \vee\quad x = 3

Mianownik drugiego wyrażenia:

x^{2}-9 = 0

(x-3)(x+3) = 0\quad (różnica kwadratów)

x-3 = 0\quad \vee\quad x+3 = 0

x = 3\quad \vee\quad x = -3

Ostatecznie:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-3, 0, 3\right\}

2. Rozkład na czynniki. Korzystając z obliczeń wykonanych przy wyznaczaniu dziedziny:

\frac{x-1}{x^{2}+3x} : \frac{x^2-3x}{x^{2}-9} = \frac{x-1}{x(x+3)} : \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}

3. Dzielenie. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność, wymnażamy i skracamy:

\frac{x-1}{x(x+3)} : \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-1}{x(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)} = \frac{x-1}{x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^{2}}

Nie wymnażamy mianownika, jeśli jest zapisany w postaci iloczynowej. Postać iloczynowa jest bardzo przydatna, dlatego jeśli już ją mamy, warto ją zachować.