Funkcja logarytmiczna

5. Funkcje

Funkcja logarytmiczna

Funkcję y = \log_{a}x, gdzie a > 0 i a \ne 1 nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie a.

Logarytm można obliczyć tylko z liczby dodatniej, dlatego dziedziną funkcji logarytmicznej jest D = \mathbb{R}_{+}.

Logarytm przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, dlatego zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest ZW = \mathbb{R}.

Funkcja logarytmiczna ma jedno miejsce zerowe. Jest nim x = 1, ponieważ \log_{a}1 = 0 dla każdej dopuszczalnej podstawy a.

Wykres funkcji logarytmicznej

Kształt wykresu funkcji logarytmicznej zależy od podstawy a.

Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca:

wykres funkcji logarytmicznej y = \log_{2}x
funkcja jest rosnąca (a = 2 > 1)

Dla a \in (0,1) funkcja logarytmiczna jest malejąca:

wykres funkcji logarytmicznej y = \log_{\frac{1}{3}}x
funkcja jest malejąca (a = \frac{1}{3} \in (0,1))

Wykres funkcji logarytmicznej zawsze przechodzi przez punkt (1,0). Dzieje się tak, ponieważ y = \log_{a}1 = 0, niezależnie od wartości podstawy a.

Wykresy funkcji logarytmicznych zbliżają się do osi Oy, ale nigdy do niej nie dochodzą. Uważajmy zatem, aby rysując wykres funkcji logarytmicznej nie najechać na oś Oy.

Przy rysowaniu wykresu bierzemy pod uwagę, czy funkcja logarytmiczna jest rosnąca (a > 1), czy malejąca (a \in (0,1)). Zaznaczamy punkt (1,0), przez który zawsze przechodzi wykres funkcji logarytmicznej. Następnie obliczamy kilka punktów wykresu, najlepiej dwa dla 0 < x < 1 i dwa dla x > 1. Dobierajmy takie x, aby obliczone wartości y były całkowite (czyli potęgi podstawy logarytmu). Zaznaczamy obliczone punkty w układzie współrzędnych i łączymy krzywą.

Przykład. Narysuj wykres funkcji: y = \log_{3}x.

Podstawa a = 3 > 1, zatem funkcja jest rosnąca. Zaznaczamy w układzie współrzędnych punkt (1,0), przez który na pewno wykres tej funkcji przechodzi:

przez punkt (1,0) zawsze przechodzi wykres funkcji logarytmicznej

Obliczamy współrzędne innych punktów wykresu. Możemy to zrobić w tabeli:

x	\frac{1}{9}	\frac{1}{3}	3	9
y = \log_{3}x

y = \log_{3}\frac{1}{9} = -2

y = \log_{3}\frac{1}{3} = -1

y = \log_{3}3 = 1

y = \log_{3}9 = 2

Zatem:

x	\frac{1}{9}	\frac{1}{3}	3	9
y = \log_{3}x	-2	-1	1	2

Otrzymane punkty: (\frac{1}{9}, -2), (\frac{1}{3}, -1), (3,1) oraz (9,2) zaznaczamy w układzie współrzędnych i wszystkie łączymy krzywą rosnącą:

wykres funkcji y = \log_{3}x