0% przygotowania do matury

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to funkcje, które mierze kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przyporządkowują stosunki długości boków w tym trójkącie.

I tak wśród funkcji trygonometrycznych, które wykorzystują przeciwprostokątną są:

  • sinus (\sin) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej,
  • cosinus (\cos) kąta, który jest stosunkiem długości bliższej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej.
\sin\sphericalangle = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}

\cos\sphericalangle = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}

Mówiąc "dalsza", "bliższa" przyprostokątna mamy na myśli położenie tej przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy sinus czy też cosinus:

3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\sin\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}
\cos\alpha = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\sin\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\cos\beta = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}

Natomiast wśród funkcji trygonometrycznych, które nie wykorzystują przeciwprostokątnej są:

  • tangens (\tg) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości bliższej przyprostokątnej,
  • cotangens (\ctg) kąta, który jest stosunkiem długości bliższej przyprostokątnej do długości dalszej przyprostokątnej (czyli odwrotnością tangensa).
\tg\sphericalangle = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}}

\ctg\sphericalangle = \frac{1}{\tg\sphericalangle} = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{dalsza przyprostokątna}}

Ponownie: mówiąc "dalsza", "bliższa" przyprostokątna mamy na myśli położenie tej przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy tangens czy też cotangens:

3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\tg\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{3}{4}
\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{dalsza przyprostokątna}} = \frac{4}{3}
\tg\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{4}{5}
\ctg\beta =\frac{1}{\tg\beta} = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{dalsza przyprostokątna}} = \frac{3}{5}

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45 i 60 stopni są stablicowane.

Jak się tego nauczyć?

Kilka rad:

  • zwróćmy uwagę na podobieństwa: sinus i cosinus korzystają z przeciwprostokątnej, tangens i cotangens nie korzystają z przeciwprostokątnej,
  • inne podobieństwa: sinus i tangens mają w liczniku dalszą przyprostokątną, zaś cosinus i cotangens mają w liczniku bliższą przyprostokątną,
  • cotangens to odwrotność tangensa,
  • rysowanie różnych trójkątów prostokątnych, w różnych położeniach i obliczanie wszystkich funkcji trygonometrycznych dla ich kątów ostrych jest najlepszym treningiem. Kilka dni ćwiczeń po kilka minut i będziesz mistrzem :-)

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Najbardziej popularnym wzorem w trygonometrii jest tzw. jedynka trygonometryczna:

\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

Jedynka trygonometryczna umożliwia nam liczenie wartości sinus, gdy mamy daną wartość cosinus i na odwrót.

Zapis \sin^{2}\alpha jest równoważny z zapisem: (\sin\alpha)^{2} = \sin\alpha\cdot \sin\alpha, czyli kwadrat przy sinusie oznacza podniesienie całej funkcji sinus do kwadratu. Podobnie z cosinusem.

Mamy jeszcze wzory wiążące tangens i cotangens z sinusem i cosinusem:

\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

Nie musimy się obawiać, że w mianowniku uzyskamy zero, gdyż rozważamy tylko kąty ostre, a dla nich sinus i cosinus są dodatnie.

No i oczywiście:

\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}
\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}

Zakresy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Jeśli \alpha jest kątem ostrym to: \sin\alpha\in(0,1), \cos\alpha\in(0,1), \tg\alpha > 0, \ctg\alpha > 0.

Jak widać, wszystkie funkcje trygonometryczne dla kąta ostrego przyjmują wartości dodatnie. Zatem zawsze przy pierwiastkowaniu kwadratów wybierajmy dodatnią wartość funkcji trygonometrycznej kąta ostrego. Dodatkowo, zarówno sinus jak i cosinus przyjmują wartości mniejsze od jedynki.