Wartości funkcji trygonometrycznych dla 30, 45 i 60 stopni

Najczęściej spotykanymi w zadaniach miarami kątów, dla których przyjdzie nam liczyć funkcje trygonometryczne, są: 30^{\circ}, 45^{\circ} i 60^{\circ}. Wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów możemy odczytać z poniższej tabeli:

Warto zauważyć, że sinus i cosinus przyjmują dla kątów 30^{\circ}, 45^{\circ} i 60^{\circ} te same wartości, ale w odwrotnej kolejności.

Kąty 30 i 60 stopni

Pokażemy teraz, jak wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30^\circ i 60^\circ. Weźmy trójkąt równoboczny o boku długości a = 2 i poprowadźmy wysokość z jednego z jego wierzchołków. Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z nich jeden z kątów ostrych ma 30^\circ, a drugi 60^\circ. Do dalszych rozważań weźmy jeden z nich.

2

\sqrt{3}

1

30^\circ

60^\circ

A

B

C

D

Ponieważ wysokość dzieli podstawę na połowy, jedna z przyprostokątnych trójkąta BCD ma długość 1. Długość drugiej przyprostokątnej obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

Dla kąta 30^\circ w trójkącie BCD mamy więc:

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Dla kąta 60^\circ role przyprostokątnych się odwracają:

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

\tg 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

Kąt 45 stopni

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 45^\circ możemy wyznaczyć, korzystając z trójkąta prostokątnego równoramiennego. Weźmy trójkąt prostokątny, którego obie przyprostokątne mają długość 1. Ponieważ przyprostokątne są równe, oba kąty ostre mają po 45^\circ.

1

1

\sqrt{2}

45^\circ

45^\circ

A

B

C

Długość przeciwprostokątnej AB obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

|AB|^2 = 1^2 + 1^2 = 2

|AB| = \sqrt{2}

Zatem:

\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tg 45^\circ = \frac{1}{1} = 1