7. Trygonometria
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne kąta ostrego są określone jako odpowiednie stosunki długości boków.
I tak wśród funkcji trygonometrycznych, które w swoim wzorze wykorzystują przeciwprostokątną mamy:
- sinus (\sin) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej
- cosinus (\cos) kąta, który jest stosunkiem długości bliższej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej
\sin\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}
\cos\alpha = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}
Określenia "dalsza" i "bliższa" przyprostokątna opisują położenie przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy sinus lub cosinus:
3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\sin\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}
\cos\alpha = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\sin\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\cos\beta = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}
\cos\alpha = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\sin\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\cos\beta = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}
Natomiast funkcją trygonometryczną, która nie wykorzystuje przeciwprostokątnej jest:
- tangens (\tg) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości bliższej przyprostokątnej
\tg\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}}
Ponownie: określenia "dalsza" i "bliższa" przyprostokątna opisują położenie przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy tangens:
3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\tg\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{3}{4}
\tg\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{4}{3}
\tg\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{4}{3}
Jak to zapamiętać?
Kilka rad:
- sinus i cosinus mają w mianowniku "przeciwprostokątną"
- tangens nie korzysta z przeciwprostokątnej – jego wzór obejmuje tylko przyprostokątne
- sinus i tangens mają w liczniku "dalszą przyprostokątną"
- rysowanie różnych trójkątów prostokątnych, w różnych położeniach i obliczanie funkcji trygonometrycznych dla ich kątów ostrych jest najlepszym treningiem. Kilka dni ćwiczeń po kilka minut i będziesz mistrzem :-)
Zakresy wartości sinusa i cosinusa dla kąta ostrego
Ponieważ w trójkącie prostokątnym każda przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, dla kąta ostrego zarówno sinus, jak i cosinus są mniejsze od 1: