Funkcje trygonometryczne w układzie współrzędnych

7. Trygonometria

Funkcje trygonometryczne w układzie współrzędnych

Funkcje trygonometryczne możemy w pełni definiować za pomocą układu współrzędnych. Przeniesiemy do niego wprowadzone wcześniej definicje funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Pozwoli nam to w naturalny sposób rozszerzyć funkcje trygonometryczne na kąty rozwarte.

Umieśćmy wierzchołek kąta \alpha w początku układu współrzędnych, a jedno z jego ramion na dodatniej półosi Ox. Drugie ramię kąta nazywamy promieniem wodzącym. Na promieniu wodzącym wybierzmy dowolny punkt P(x,y) i poprowadźmy odcinek prostopadły do osi Ox.

kąt ostry
promień wodzący w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych

W ten sposób otrzymaliśmy trójkąt prostokątny, w którym:

współrzędna x odpowiada długości bliższej przyprostokątnej
współrzędna y odpowiada długości dalszej przyprostokątnej
odległość r punktu P od początku układu współrzędnych jest długością przeciwprostokątnej

Zatem możemy zapisać funkcje trygonometryczne posługując się wartościami współrzędnych x i y oraz odległością r:

\sin\alpha = \frac{y}{r}

\cos\alpha = \frac{x}{r}

\tg\alpha = \frac{y}{x}, dla x\neq0

gdzie, z twierdzenia Pitagorasa:

r^2 = x^2+y^2

czyli:

r = \sqrt{x^2+y^2}

Funkcje trygonometryczne dla kątów rozwartych

Możemy teraz rozważyć kąty, dla których promień wodzący znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, czyli kąty rozwarte:

kąt rozwarty
promień wodzący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych

Dla kąta rozwartego \alpha punkt P ma:

x < 0, \quad y > 0

Odległość r jest jednak zawsze dodatnia:

r > 0

Dlatego:

\sin\alpha = \frac{y}{r} > 0

\cos\alpha = \frac{x}{r} < 0

\tg\alpha = \frac{y}{x} < 0

Znaki funkcji trygonometrycznych

W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych (kąty ostre) wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie, a w drugiej ćwiartce (kąty rozwarte) dodatni pozostaje tylko sinus:

	0^\circ < \alpha < 90^\circ	90^\circ < \alpha < 180^\circ
\sin\alpha	+	+
\cos\alpha	+	-
\tg\alpha	+	-