0% przygotowania do matury

Iloczyn i iloraz potęg o tej samej podstawie

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki, zaś przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy ich wykładniki:

a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

2^{4}\cdot 2^{2} = 2^{4+2} = 2^{6} = 64

x^{3}\cdot x^{2} = x^{3+2} = x^{5}

(-3)^{3}\cdot (-3)^{-4} = (-3)^{3+(-4)} = (-3)^{-1} = (\frac{1}{-3})^{1} = -\frac{1}{3}

4^{\frac{3}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}} = 4^{2} = 16

\frac{2^{3}}{2^{5}} = 2^{3-5} = 2^{-2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}

\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{6-2} = x^{4}

\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} = 3^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}} = 3^{-1} = (\frac{1}{3})^{1} = \frac{1}{3}

A co z sumą lub różnicą potęg o tej samej podstawie?

a^{m} + a^{n} =\text{?}
a^{m} - a^{n} =\text{?}

Niestety nie ma tu żadnych własności, ale istnieje pomysł polegający na tym, by wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Pomysł, który wielokrotnie ułatwia dalsze liczenie:

\frac{5^{21} + 5^{20}}{5^{18}} = \frac{5^{20}\cdot5^{1} + 5^{20}}{5^{18}} = \frac{5^{20}\cdot (5^{1} + 1)}{5^{18}} = \frac{5^{20}\cdot 6}{5^{18}} = 5^{20-18}\cdot 6 = 5^{2}\cdot 6 = 25 \cdot 6 = 150