0% przygotowania do matury

Iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz sąsiednich wyrazów w ciągu geometrycznym o wyrazach a_{n}\ne 0 jest zawsze stały i równa q (dlatego też q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego), co zapisujemy:

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = q

Jest to wzór przydatny przy badaniu czy ciąg zadany wzorem ogólnym jest geometryczny. Obliczamy wtedy iloraz dwóch sąsiednich wyrazów: \frac{a_{n+1}}{a_{n}}. Jeśli wychodzi on stały (niezależny od n), to ciąg jest geometryczny, a my właśnie obliczyliśmy jego iloraz q.

Zadanie. Zbadaj czy ciąg a_{n} = 3\cdot2^{n+1} jest geometryczny.

Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_{1} = 3\cdot2^{1+1} = 3\cdot2^{2} = 3\cdot4 = 12

a_{2} = 3\cdot2^{2+1} = 3\cdot2^{3} = 3\cdot8 = 24

a_{3} = 3\cdot2^{3+1} = 3\cdot2^{4} = 3\cdot16 = 48

a_{4} = 3\cdot2^{4+1} = 3\cdot2^{5} = 3\cdot32 = 96

Wygląda na to, że jest to ciąg geometryczny (kolejne wyrazy powstają z przemnożenia swoich poprzedników przez 2). Ale sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Obliczymy \frac{a_{n+1}}{a_{n}}:

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{3\cdot2^{(n+1)+1}}{3\cdot2^{n+1}} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2^{n+2-(n+1)} = 2^{n+2-n-1} = 2^{1} = 2

Otrzymaliśmy stały iloraz równy 2 (niezależny od n). Zatem jest to ciąg geometryczny o q = 2.

Zadanie. Zbadaj czy ciąg b_{n} = n(n+1) jest geometryczny.

Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b_{1} = 1\cdot(1+1) = 1\cdot2 = 2

b_{2} = 2\cdot(2+1) = 2\cdot3 = 6

b_{3} = 3\cdot(3+1) = 3\cdot4 = 12

Możemy przerwać. Widać, że nie jest to ciąg geometryczny: iloraz \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{6}{2} = 3, zaś iloraz \frac{b_{3}}{b_{2}} = \frac{12}{6} = 2. Skoro trzy pierwsze wyrazy nie spełniają warunku ciągu geometrycznego, to cały ciąg go nie spełnia. Jeśli byśmy nie wypisywali pierwszych wyrazów tego ciągu, tylko od razu obliczyli iloraz \frac{b_{n+1}}{b_{n}}, to byśmy otrzymali:

\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{n(n+1)} = \frac{\cancel{(n+1)}(n+2)}{n\cancel{(n+1)}} = \frac{n+2}{n} = \frac{n}{n} + \frac{2}{n} = 1 + \frac{2}{n}

Iloraz 1 + \frac{2}{n} nie jest stały (zależy od n). Nie jest to ciąg geometryczny.