1. Liczby rzeczywiste
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Zatem:
- |x| = |x - 0| oznacza "odległość x od 0"
- |x - 3| oznacza "odległość x od 3"
- |x + \frac{1}{2}| = |x - (-\frac{1}{2})| oznacza "odległość x od -\frac{1}{2}"
Interpretacja geometryczna równania z wartością bezwzględną
Równanie |x-a|=b oznacza, że liczba x jest oddalona od liczby a o dokładnie b.
Na osi liczbowej otrzymujemy więc dwa punkty:
- jeden po lewej stronie liczby a
- drugi po prawej stronie liczby a
Czyli:
x = a - b \quad \vee \quad x = a + b
Przykład. Rozwiąż równanie |x - 4| = 2.
Interpretacja: "liczba x jest oddalona od 4 o 2".
Szukamy więc liczb oddalonych od 4 o 2:
- x = 4 - 2 = 2
- x = 4 + 2 = 6
Czyli:
x = 2 \quad \vee \quad x = 6
Odległość równa zero
Gdy |x-a|=0, to oznacza, że odległość wynosi 0, więc:
x=a
Przykład. Rozwiąż równanie |x - 6| = 0.
Odległość wynosi 0, więc:
x = 6
Odległość ujemna
Gdy |x - a| = b, gdzie b < 0, to równanie nie ma rozwiązań, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną. Zapisujemy:
x \in \varnothing
Przykład. Rozwiąż równanie |x + 3| = -2.
Odległość nie może być ujemna, więc:
x \in \varnothing