Metoda podstawiania
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej i podstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania. Wybieramy takie równanie i taką niewiadomą, których wyznaczenie wymaga jak najmniej obliczeń. Jeśli to możliwe, warto unikać dzielenia, ponieważ często prowadzi ono do ułamków.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}.
Wybieramy pierwsze równanie i niewiadomą x, ponieważ jej wyznaczenie wymaga najmniej obliczeń:
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2x - y = 3 \end{cases}
Podstawiamy teraz x = 9 - 3y do drugiego równania:
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2\cdot(9 - 3y) - y = 3 \end{cases}
Wyznaczamy z drugiego równania niewiadomą y:
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 18 - 6y - y = 3 \end{cases}
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 18 - 7y = 3 \end{cases}
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ - 7y = 3 - 18 \end{cases}
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ - 7y = -15 \hspace{4 mm}|:(-7) \end{cases}
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}
Otrzymaną wartość y podstawiamy do pierwszego równania:
\begin{cases} x = 9 - 3\cdot \frac{15}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}
\begin{cases} x = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{3\cdot 15}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}
\begin{cases} x = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}
\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}
Otrzymaliśmy rozwiązanie układu.
Wiele osób pyta, czy podczas rozwiązywania układu trzeba przepisywać oba równania. Nie trzeba. Ich przepisywanie służy jedynie podkreśleniu, że cały czas rozwiązujemy układ równań, a nie pojedyncze równanie. Ważne natomiast, aby na końcu podać wartości wszystkich niewiadomych.
Powyższe rozwiązanie bez zbędnego przepisywania wyglądałoby następująco:
\begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}
\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2x - y = 3 \end{cases}
2\cdot(9 - 3y) - y = 3
18 - 6y - y = 3
18 - 7y = 3
- 7y = 3 - 18
- 7y = -15 \hspace{4 mm}|:(-7)
y = \frac{15}{7}
x = 9 - 3\cdot \frac{15}{7} = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{3\cdot 15}{7} = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} = \frac{18}{7}
\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}