Metoda przeciwnych współczynników
Metodę przeciwnych współczynników stosujemy wtedy, gdy przy jednej z niewiadomych w obu równaniach stoją przeciwne współczynniki (np. -2 i 2). W takim przypadku można dodać równania stronami: lewą stronę do lewej, prawą do prawej. W wyniku dodawania jedna z niewiadomych znika, a otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}.
Na początku nie mamy przeciwnych współczynników ani przy x, ani przy y. Możemy jednak przekształcić jedno z równań, mnożąc je przez odpowiednią liczbę.
Mnożymy pierwsze równanie przez −2:
\begin{cases} x + 3y = 9\hspace{4 mm}|\cdot (-2) \\ 2x - y = 3 \end{cases}
\begin{cases} -2x - 6y = -18 \\ 2x - y = 3 \end{cases}
Teraz przy x mamy przeciwne współczynniki: -2 i 2. Dodajemy równania stronami:
-2x - 6y + 2x - y = -18 + 3
-7y = -15\hspace{4 mm}|:(-7)
y = \frac{15}{7}
Otrzymaliśmy wartość y. Teraz podstawiamy ją do jednego z równań początkowych. Wybieramy to prostsze:
x + 3\cdot\frac{15}{7} = 9
x + \frac{3\cdot 15}{7} = 9
x = 9 - \frac{45}{7} = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{45}{7} = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} = \frac{18}{7}
Otrzymaliśmy rozwiązanie układu równań:
\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}