0% przygotowania do matury

Metoda przeciwnych współczynników

Metodę przeciwnych współczynników możemy stosować, gdy przy jednej z niewiadomych w obydwu równaniach stoją przeciwne współczynniki np. -2 i 2. Wystarczy wtedy dodać obydwa równania stronami do siebie (dodajemy lewe strony równań, piszemy "=" i dodajemy prawe strony równań). W ten sposób niewiadoma, przy której stały przeciwne współczynniki redukuje się do zera, a my obliczamy drugą niewiadomą.

Zadanie. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}.

Niestety tutaj ani przy x nie ma przeciwnych współczynników (1 i 2), ani też przy y ich nie ma (3 i -1). Ale jest na to rada, wystarczy jedno z równań przemnożyć przez stałą, tak aby taką parę współczynników utworzyć. Przemnóżmy pierwsze równanie przez -2:

\begin{cases} x + 3y = 9\hspace{4 mm}|\cdot (-2) \\ 2x - y = 3 \end{cases}

\begin{cases} -2x - 6y = -18 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

No i mamy przy x przeciwne współczynniki: -2 i 2. Dodajmy zatem obydwa równania stronami do siebie:

-2x - 6y + 2x - y = -18 + 3

-7y = -15\hspace{4 mm}|:(-7)

y = \frac{15}{7}

Mamy wartość niewiadomej y. Teraz wybieramy jedno z początkowych równań, aby policzyć x. Wybierajmy równanie prostsze. W tym przypadku wybieramy równanie pierwsze: x + 3y = 9 i w miejsce y podstawiamy obliczoną wartość y = \frac{15}{7}:

x + 3\cdot\frac{15}{7} = 9

x + \frac{3\cdot 15}{7} = 9

x = 9 - \frac{45}{7} = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{45}{7} = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} = \frac{18}{7}

Pamiętajmy, aby na koniec podsumować obliczenia podając obydwa rozwiązania układu równań w klamrze:

\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}