0% przygotowania do matury

Metoda przez podstawienie

Metoda przez podstawienie polega na wyliczeniu z jednego z równań jednej z niewiadomych i podstawieniu jej wartości do drugiego równania. Które równanie i którą niewiadomą wybrać? To równanie i tę niewiadomą, której wyliczenie jest dla nas najprostsze (jeśli możemy unikajmy dzielenia).

Zadanie. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}.

Wybieramy równanie pierwsze i niewiadomą x, gdyż jej wyliczenie będzie nas kosztowało najmniej pracy:

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2x - y = 3 \end{cases}

Podstawiamy teraz x = 9 - 3y w miejsce x w drugim równaniu:

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2\cdot(9 - 3y) - y = 3 \end{cases}

I wyliczamy z drugiego równania niewiadomą y:

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 18 - 6y - y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 18 - 7y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ - 7y = 3 - 18 \end{cases}

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ - 7y = -15 \hspace{4 mm}|:(-7) \end{cases}

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}

Tak obliczoną wartość y podstawiamy do pierwszego równania:

\begin{cases} x = 9 - 3\cdot \frac{15}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{3\cdot 15}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}

I mamy rozwiązanie.

Wiele osób pyta czy trzeba przepisywać obydwa równania przy rozwiązywaniu układu. Nie trzeba. Ich przepisywanie służy jedynie zaznaczeniu, że cały czas rozwiązujemy układ równań, a nie pojedyncze równianie. Ważne natomiast, aby na koniec napisać obydwa rozwiązania w klamrze.

Powyższe rozwiązanie bez zbędnego przepisywania wyglądałoby następująco:

\begin{cases} x + 3y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

\begin{cases} x = 9 - 3y \\ 2x - y = 3 \end{cases}

2\cdot(9 - 3y) - y = 3

18 - 6y - y = 3

18 - 7y = 3

- 7y = 3 - 18

- 7y = -15 \hspace{4 mm}|:(-7)

y = \frac{15}{7}

x = 9 - 3\cdot \frac{15}{7} = \frac{9\cdot 7}{7} - \frac{3\cdot 15}{7} = \frac{63}{7} - \frac{45}{7} = \frac{18}{7}

\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{15}{7} \end{cases}