Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x} \cdot \frac{2x}{x+1}.

1. Dziedzina. Mianowniki muszą być różne od zera:

x \neq 0\quad\wedge\quad x+1 \neq 0

x \neq 0\quad\wedge\quad x \neq -1

Czyli:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-1, 0\right\}

2. Rozkład na czynniki. Wszystkie wielomiany są stopnia pierwszego, więc nie wymagają dalszego rozkładu.

3. Mnożenie i skracanie:

\frac{x-1}{x} \cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)\cdot 2x}{x(x+1)} = \frac{2(x-1)}{x+1}

Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x^{2}+x-2} \cdot \frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4}.

1. Dziedzina. Pierwszy mianownik:

x^{2}+x-2 = 0\quad (równanie kwadratowe)

\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0

x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2

x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

Zatem będziemy musieli odrzucić dwie liczby: -2 oraz 1.

Drugi mianownik:

x^{2}+4 = 0

x^{2} = -4

x \in \varnothing\quad (brak rozwiązań, ponieważ x^{2} \ge 0)

Łącznie:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-2, 1\right\}

2. Rozkład na czynniki. Korzystając z obliczeń wykonanych przy wyznaczaniu dziedziny:

\frac{x-1}{x^{2}+x-2} = \frac{x-1}{(x+2)(x-1)}

I drugie wyrażenie:

\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4} = \frac{x(x+2)}{x^{2}+4}\quad (mianownik jest nierozkładalny, bo jest postaci x^{2}+b, gdzie b > 0)

3. Mnożenie i skracanie:

\frac{x-1}{x^{2}+x-2} \cdot \frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4} = \frac{x-1}{(x+2)(x-1)} \cdot \frac{x(x+2)}{x^{2}+4} = \frac{1}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{x^{2}+4} = \frac{x}{x^{2}+4}