Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x} \cdot \frac{2x}{x+1}.

1. Wyznaczmy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od 0, zatem:

x \neq 0\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm} x+1 \neq 0

x \neq 0\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm} x \neq -1

Czyli:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-1, 0\right\}

2. Wszystkie wielomiany w mnożonych wyrażeniach to wielomiany stopnia 1, więc nie ma z czego robić postaci iloczynowych.

3. Wymnóżmy wyrażenia i skróćmy (o ile można):

\frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{2\cancel{x}}{x+1} = \frac{2(x-1)}{x+1}

Gotowe.

Przykład. Wykonaj działanie: \frac{x-1}{x^{2}+x-2} \cdot \frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4}.

1. Wyznaczmy dziedzinę. Mianowniki muszą być różne od 0, więc szukamy tych x, dla których się one zerują. Najpierw mianownik pierwszego wyrażenia:

x^{2}+x-2 = 0\hspace{4mm} (mamy równanie kwadratowe)

\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2

x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

Czyli na pewno odrzucimy liczby -2 i 1. I mianownik drugiego wyrażenia:

x^{2}+4 = 0

x^{2} = -4 co nigdy nie zachodzi, bo zawsze x^{2} \ge 0

x \in \varnothing

Ostatecznie musimy odrzucić liczby -2 i 1, czyli:

D = \mathbb{R}\setminus\left\{-2, 1\right\}

2. Zapiszmy teraz wyrażenia w postaciach iloczynowych. Ponieważ miejscami zerowymi x^{2}+x-2 są liczby -2 i 1 (tak nam wyszło przy wyznaczaniu dziedziny) to:

\frac{x-1}{x^{2}+x-2} = \frac{\cancel{x-1}}{(x+2)\cancel{(x-1)}} = \frac{1}{x+2}

I drugie wyrażenie:

\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4} = \frac{x(x+2)}{x^{2}+4}\hspace{4mm} (mianownik jest nierozkładalny, bo jest postaci x^{2}+b)

3. Wymnóżmy wyrażenia i skróćmy (o ile można):

\frac{x-1}{x^{2}+x-2} \cdot \frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4} = \frac{1}{\cancel{x+2}} \cdot \frac{x\cancel{(x+2)}}{x^{2}+4} = \frac{x}{x^{2}+4}

I w takiej postaci pozostawiamy rozwiązanie. Nic więcej nie uprościmy.