Obliczanie pierwiastków

Mając do obliczenia pierwiastek z liczby, zawsze zadajmy sobie pytanie, czy znamy liczbę, która podniesiona do stopnia pierwiastka da nam liczbę spod pierwiastka. Jeśli mamy \sqrt[3]{27}, to zastanawiamy się, czy znamy liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi da 27. Taką liczbą jest 3, zatem:

\sqrt[3]{27} = 3

Inny przypadek: \sqrt{64}. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 64? Oczywiście 8. Niektórzy mogą powiedzieć, że również -8, i to prawda, ponieważ (-8)^2 = 64. Jednak pierwiastek parzystego stopnia nie może być liczbą ujemną, więc wybieramy 8. Czyli:

\sqrt{64} = 8

Często jednak nie znamy takiej liczby od razu. Wtedy możemy spróbować uprościć pierwiastek, wyłączając przed niego liczbę. Załóżmy, że mamy do obliczenia \sqrt{252}. Nie przychodzi nam do głowy żadna liczba, której kwadrat daje 252. Sprawdźmy więc, czy liczba 252 dzieli się przez kwadraty liczb naturalnych mniejszych od niej: 2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{2} = 16, 5^{2} = 25 i tak dalej.

Liczba 252 dzieli się przez 4, co daje 63, a 63 dzieli się przez 9, co daje 7. Zatem możemy zapisać:

252=4\cdot 9\cdot 7=36\cdot 7

Czyli:

\sqrt{252} = \sqrt{36\cdot 7} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{7} = 6\sqrt{7}

Podsumowując: liczbę pod pierwiastkiem rozkładamy (o ile to możliwe) na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej. Dzięki temu pierwiastek z tego kwadratu można wyłączyć przed znak pierwiastka.

Weźmy teraz \sqrt[3]{-40}. Zadajemy sobie pytanie, czy znamy liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi daje -40. Nie znamy takiej liczby. Spróbujmy więc rozłożyć 40 na czynniki, z których jeden jest sześcianem liczby naturalnej: 2^{3} = 8, 3^{3} = 27. Liczba 40 dzieli się przez 8, co daje 5.

Zatem:

\sqrt[3]{-40} = \sqrt[3]{-8\cdot5} = \sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{5} = -2\sqrt[3]{5}

Pierwiastki niewymierne

Niektórzy, widząc wyrażenie \sqrt{5} mówią, że "pierwiastek z pięciu nie istnieje". To nieprawda. \sqrt{5} to liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 5. Nie jest to liczba całkowita, lecz liczba niewymierna, dlatego nie da się jej zapisać dokładnie w postaci ułamka. Możemy natomiast podać jej przybliżenie dziesiętne:

\sqrt{5}\approx 2{,}23606797749

Częste błędy

Częstym błędem jest rozbijanie pierwiastka w przypadku sumy lub różnicy. Na przykład nieprawdziwe jest:

\sqrt{4 + x} = \sqrt{4} + \sqrt{x}

\sqrt[3]{8 - x^{2}} = \sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{x^{2}}

Nie wolno rozbijać pierwiastka na sumę ani różnicę.

Dlatego wyrażenia takie jak \sqrt{4 + x} czy \sqrt[3]{8 - x^{2}} pozostawiamy w niezmienionej postaci.

Możemy natomiast uprościć takie wyrażenia, wyłączając wspólny czynnik przed pierwiastek:

\sqrt{4 + 4x} = \sqrt{4\cdot(1 + x)} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{1 + x} = 2\sqrt{1 + x}

W ten sposób korzystamy z własności pierwiastka z iloczynu.