Pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu niewiadomej
Często mamy sytuację, gdy musimy spierwiastkować kwadrat wyrażenia z niewiadomą. Na przykład:
x^{2} = 4\quad |\sqrt{\phantom{x}}
Nie wystarczy napisać, że x = 2, ponieważ nie jest to pełny zbiór rozwiązań. Rzeczywiście 2^{2} = 4, ale również (-2)^2 = 4.
Wiele osób zapisuje wtedy x = 2 \vee x = -2, jednak warto zapamiętać, że:
Zatem:
x^{2} = 4\quad |\sqrt{\phantom{x}}
|x| = \sqrt{4}
|x| = 2\quad (równanie z wartością bezwzględną)
Stąd:
x = 2\quad \vee\quad x = -2
Nierówności z kwadratem
Podobne postępowanie stosujemy przy nierównościach.
Przykład. Rozwiąż x^{2} > 4.
x^{2} > 4\quad |\sqrt{\phantom{x}}
|x| > 2\quad (nierówność z wartością bezwzględną)
x > 2\quad \vee\quad x < -2
Zatem: x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty).
Przykład. Rozwiąż x^{2} < 9.
x^{2} < 9\quad |\sqrt{\phantom{x}}
|x| < \sqrt{9}
|x| < 3\quad (nierówność z wartością bezwzględną)
-3 < x < 3
Zatem: x \in (-3,3).