0% przygotowania do matury

Obliczanie pierwiastków

Mając do obliczenia pierwiastek z liczby zawsze zadajmy sobie pytanie czy znamy liczbę, która podniesiona do stopnia pierwiastka da nam liczbę spod pierwiastka. Czyli jeśli mamy: \sqrt[3]{27}, to zastanawiamy się czy znamy liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi da nam 27. Znamy taką liczbę, jest to liczba 3, zatem: \sqrt[3]{27} = 3. Inny przypadek: \sqrt{64}. Jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 64? Oczywiście, że 8. Niektórzy mogą odpowiedzieć, że też -8 i mają rację. Ale pierwiastek parzystego stopnia nie może być ujemny, więc wybieramy 8. Czyli: \sqrt{64} = 8.

Często niestety nie znamy takiej liczby. Możemy wtedy spróbować uprościć pierwiastek, wyłączając przed niego liczbę. Załóżmy, że mamy do obliczenia: \sqrt{252}. Nie przychodzi nam do głowa żadna liczba, która podniesiona do kwadratu da nam 252. Sprawdźmy zatem, czy liczba 252 nie dzieli się czasem przez popularne kwadraty liczb mniejsze niż 252: 2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{2} = 16, 5^{2} = 25 i tak dalej. 252 dzieli się przez 4 i daje w wyniku 63, ale 63 dzieli się jeszcze przez 9 i daje w wyniku 7. Zatem możemy zapisać, że:

252=4\cdot 9\cdot 7=36\cdot 7

Czyli:

\sqrt{252} = \sqrt{36\cdot 7} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{7} = 6\sqrt{7}

Podsumowując, chodzi o to by liczbę pod pierwiastkiem rozłożyć (o ile można) na iloczyn dwóch liczb, z których jedna będzie kwadratem pewnej liczby. Dzięki temu, spierwiastkowany kwadrat liczby można wyłączyć przed pierwiastek.

Weźmy teraz \sqrt[3]{-40}. Znów zadajemy sobie pytanie: czy znamy taką liczbę, która podniesiona do potęgi trzeciej da nam -40? Nie znamy. Zatem spróbujmy podzielić 40 przez popularne potęgi trójki (ponieważ mamy trzeci stopień pierwiastka) mniejsze niż 40: 2^{3} = 8, 3^{3} = 27. 40 dzieli się przez 8 dając w wyniku 5. Zatem możemy zapisać:

\sqrt[3]{-40} = \sqrt[3]{-8\cdot5} = \sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{5} = -2\sqrt[3]{5}

Nie istniejące pierwiastki?

Niektórzy, jak widzą na przykład \sqrt{5}, to mówią po chwili zastanowienia: "pierwiastek z pięciu nie istnieje". No jak to? Przecież dopiero co go zapisaliśmy: \sqrt{5}. To właśnie ta liczba. Może ona nie być liczbą całkowitą, tak jak \sqrt{4} = 2, ale istnieć, istnieje. Jest po prostu liczbą niewymierną, więc nie da się jej zapisać w postaci liczby całkowitej. Na kalkulatorze można obliczyć jej przybliżone rozwinięcie dziesiętne: \sqrt{5}\approx 2{,}23606797749.

Częste błędy

Wiele osób kusi, by rozbijać pierwiastek na sumie lub na różnicy. Jak mają do policzenia \sqrt{4 + x} to chcą zapisać, że to jest równe \sqrt{4} + \sqrt{x}\ = 2 + \sqrt{x}. To nie jest prawda! Nie możemy rozbijać pierwiastków na sumie lub na różnicy!

Zatem co zrobić z takimi przykładami jak: \sqrt{4 + x}, \sqrt[3]{8 - x^{2}}? Nic. Zostawić w takiej postaci. Można spróbować wyciągnać coś przed nawias z wyrażenia pod pierwiastkiem, jak na przykład tutaj:

\sqrt{4 + 4x} = \sqrt{4\cdot(1 + x)} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{1 + x} = 2\sqrt{1 + x}

Jak widać, po wyciągnięciu 4 przed nawias, skorzystaliśmy ze wzoru na pierwiastek z iloczynu. I to wszystko co możemy tutaj zrobić.