0% przygotowania do matury

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana (zwana podstawą ostrosłupa) jest dowolnym wielokątem, natomiast pozostałe ściany (zwane ścianami bocznymi) to trójkąty o wspólnym wierzchołku (zwanym wierzchołkiem ostrosłupa):

A
B
C
D
E
F
wierzchołek
ostrosłupa
podstawa
ściany
boczne
ostrosłup

Ostrosłup dodatkowo nazywamy n-kątnym jeśli jego podstawa jest n-kątem (wielokątem o n kątach).

Ostrosłup trójkątny to ostrosłup z trójkątem w podstawie:

A
B
C
D
ostrosłup trójkątny

Ostrosłup czworokątny to ostrosłup z czworokątem w podstawie:

A
B
C
D
E
ostrosłup czworokątny

Wyobraźmy sobie, że wierzchołek ostrosłupa spada na podstawę ostrosłupa tak jakby była ona powierzchnią ziemi. Punkt, w którym się znajdzie po upadku na podstawę to jego rzut prostokątny (wierzchołek spada w stosunku do powierzchni podstawy pod kątem prostym). Punkt ten w ostosłupie nazywamy spodkiem wysokości. Odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości to wysokość ostrosłupa:

A
B
C
D
S
h
spodek
wysokości
spodek wysokości i wysokość h w ostrosłupie
Wysokość ostrosłupa tworzy kąt prosty z płaszczyzną podstawy.

Ostrosłup nazywamy prawidłowym jeśli ma w podstawie wielokąt foremny, a jego spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na tej podstawie.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt foremny, czyli równoboczny, zaś spodek wysokości w środku okręgu opisanego na podstawie, czyli w punkcie przecięcia środkowych trójkąta równobocznego:

a
a
a
ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat, zaś spodek wysokości w środku okręgu opisanego na podstawie czyli w punkcie przecięcia się przekątnych kwadratu:

a
a
a
a
A
B
C
D
E
S
ostrosłup prawidłowy czworokątny
A
B
C
D
S
okrąg opisany na kwadracie (podstawie powyższego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego)

Pole powierzchni całkowitej (P_{c}) ostrosłupa to suma pól wszystkich jego ścian. Zatem możemy pole powierzchni całkowitej podzielić na pole powierzchni bocznej (P_{b}) ostrosłupa (suma pól ścian bocznych) i pole podstaw (P_{p}) ostrosłupa:

P_{c} = P_{b} + P_{p}

Objętość V ostrosłupa liczymy ze wzoru (P_{p} to pole podstawy, zaś h to wysokość ostrosłupa):

V = \frac{1}{3}P_{p}\cdot h