Pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu niewiadomej

1. Liczby rzeczywiste

Pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu niewiadomej

Często mamy sytuację, gdy musimy spierwiastkować kwadrat wyrażenia z niewiadomą. Na przykład:

x^{2} = 4\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

I teraz nie możemy napisać, że x = 2, gdyż będzie to niepełna odpowiedź. Przecież nie tylko 2^{2} = 4, ale również (-2)^2 = 4. Niektórzy pamiętają, żeby napisać x = 2 \vee x = -2, ale najlepiej jest zapamiętać, że:

\sqrt{x^{2}} = |x|, gdzie |x| to wartość bezwzględna (moduł) z x.

Zatem mamy:

x^{2} = 4\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

|x| = \sqrt{4}

|x| = 2\hspace{4mm} (równanie z niewiadomą w module)

x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -2

W ten sposób nie zapomnimy o rozwiązaniu ujemnym.

Jeszcze bardziej takie postępowanie się przydaje, gdy mamy pierwiastkowanie nierówności:

Zadanie. Rozwiąż x^{2} > \frac{1}{4}.

x^{2} > \frac{1}{4}\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

|x| > \sqrt{\frac{1}{4}}

|x| > \frac{1}{2}\hspace{4mm} (nierówność z niewiadomą w module)

x > \frac{1}{2}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x < -\frac{1}{2}

rozwiązanie x > \frac{1}{2} \vee x < -\frac{1}{2} na osi liczbowej

Zatem: x \in (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},\infty).

Zadanie. Rozwiąż x^{2} < 9.

x^{2} < 9\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

|x| < \sqrt{9}

|x| < 3\hspace{4mm} (nierówność z niewiadomą w module)

x < 3\hspace{4mm} \wedge\hspace{4mm} x > -3

rozwiązanie x < 3 \wedge x > -3 na osi liczbowej

Zatem: x \in (-3,3).