0% przygotowania do matury

Podobieństwo trójkątów

Dwa trójkąty są podobne jeśli jeden z nich powstaje z drugiego poprzez proporcjonalne pomniejszenie lub zwiększenie wszystkich jego boków i poprzez możliwe (ale nie konieczne) odbicia symetryczne, przesunięcia i obroty. To proporcjonalne pomniejszenie lub zwiększenie wszystkich jego boków odróżnia podobieństwo od przystawania trójkątów. Wzrokowo trójkąty podobne można rozpoznać po tym, że jeden z nich jest pomniejszoną lub powiększoną kopią drugiego.

Podobieństwo trójkątów zapisujemy z użyciem symbolu \sim (który czytamy jako "jest podobny do"). Ważne jest, aby wypisując wierzchołki trójkątów zapisać je w takiej kolejności w jakiej ich boki są podobne do siebie:

A
B
C
D
E
F
a
b
c
d
e
f
\alpha
\gamma
\beta
\alpha
\beta
\gamma
dwa podobne trójkąty
\triangle ABC \sim \triangle FED (czytamy: trójkąt ABC jest podobny do trójkąta FED)

Zapisaliśmy, że \triangle ABC \sim \triangle FED, a nie na przykład, że \triangle ABC \sim \triangle DEF, gdyż bokiem odpowiadającym bokowi AB jest bok FE (spójrzmy na kąty przy wierzchołkach: wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi F, zaś wierzchołek B odpowiada wierzchołkowi E). Stąd nasz zapis: \triangle \bold{AB}C \sim \triangle \bold{FE}D.

Prawidłowy zapis ułatwia wyprowadzanie proporcji pomiędzy długościami boków trójkątów. Mając prawidłowo zapisane podobieństwo trójkątów: \triangle ABC \sim \triangle FED wiemy, że odpowiednikami wierzchołków A, B, C w \triangle ABC są wierzchołki F, E i D w \triangle DEF (dokładnie w tej kolejności). Zatem możemy bez patrzenia na rysunek wypisać proporcje długości ich boków:

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|FE|}{|ED|}

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|FE|}{|FD|}

\frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|ED|}{|FD|}

Cechy podobieństwa trójkątów

Aby pokazać, że dwa trójkątypodobne, należy skorzystać z tzw. cech podobieństwa trójkątów. Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:

  • kąt-kąt,
  • bok-bok-bok,
  • bok-kąt-bok.

Cecha kąt-kąt (\text{kk}): jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne (z tej cechy podobieństwa trójkątów korzysta się najczęściej). Jeśli zatem jeden i drugi trójkąt mają kąty o miarach 60^{\circ} i 90^{\circ} to na pewno te trójkąty są podobne:

A
B
C
D
E
F
60^{\circ}
60^{\circ}
\triangle ABC \sim \triangle FDE\text{ (kk)}

Cecha bok-bok-bok (\text{bbb}): jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. Jeśli zatem jeden trójkąt ma boki długości 2, 4 i 5 a drugi: 4, 8 i 10, to skoro \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}, to na pewno te trójkąty są podobne:

A
B
C
D
E
F
2
4
4
8
10
5
\triangle ABC \sim \triangle EDF\text{ (bbb)}

Cecha bok-kąt-bok (\text{bkb}): jeśli długości dwóch boków w jednym trójkącie są proporcjonalne do długości dwóch boków w drugim trójkącie i dodatkowo kąty pomiędzy tymi bokami są sobie równe, to trójkąty są podobne. Jeśli zatem jeden trójkąt ma boki długości 6 i 10 a drugi: 9 i 15 (\frac{6}{10} = \frac{9}{15}, czyli długości boków są proporcjonalne) oraz kąty pomiędzy tymi bokami w obu trójkątach są równe i wynoszą 30^{\circ}, to na pewno te trójkąty są podobne:

A
B
C
D
E
F
30^{\circ}
30^{\circ}
6
9
10
15
\triangle ABC \sim \triangle FDE\text{ (bkb)}

Pamiętajmy o tym, aby zawsze po stwierdzeniu, że dwa trójkąty są podobne napisać w nawiasie z jakiej cechy podobieństwa trójkątów to wynika (wystarczy skrót nazwy cechy). Oczywiście wcześniej należy wykazać, że długości odpowiednich boków trójkątów są proporcjonalne czy też odpowiednie kąty tych trójkątów są sobie równe.

Cechę \text{kk} nieraz nazywa się cechą \text{kkk} (kąt-kąt-kąt). Nie ma to znaczenia, chodzi o tę samą cechę. Skoro dwa kąty w trójkątach są sobie równe, to trzeci kąt też mają równy (wynika to z sumy kątów w trójkącie).

Do czego nam to podobieństwo trójkątów potrzebne?

Jak już pokażemy, że dwa trójkątypodobne, to wiemy, że długości odpowiednich boków w tych trójkątach są proporcjonalne i że kąty w tych trójkątach są sobie równe. Możemy z tego korzystać w rozwiązaniu zadania, na przykład obliczając z proporcji pozostałe długości boków trójkątów.