Podwójna nierówność liniowa
Zdarzają się nieraz do rozwiązania tzw. podwójne nierówności liniowe. Na przykład:
-3 < x + 5 < 5
-1 \le -3x - 8 \le 2
Jak widzimy, mamy w takich nierównościach aż dwa znaki mniejszości, stąd też nazwa "podwójna nierówność".
Nierówność taką możemy rozpisać na dwie nierówności (z użyciem "i", czyli symbolu "\wedge") i rozwiązywać osobno:
Przykład. Rozwiąż: -3 < x + 5 < 5.
-3 < x + 5 < 5
-3 < x + 5\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x + 5 < 5
-3 - 5 < x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x < 5 - 5
-8 < x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x < 0
x\in(-8,0)
Możemy też rozwiązywać takie nierówności krócej (ale tylko w przypadku gdy po lewej jak i prawej stronie nierówności nie ma niewiadomej). Wystarczy wtedy wszystkie operacje prowadzące do wyznaczenia niewiadomej wykonywać po obydwu stronach nierówności:
Przykład. Rozwiąż: -3 < x + 5 < 5.
-3 < x + 5 < 5
-3 - 5 < x < 5 - 5
-8 < x < 0
x\in(-8,0)
Rozwiążmy jeszcze kolejną nierówność metodą z rozpisaniem na dwie nierówności:
Przykład. Rozwiąż: -1 \le -3x - 8 \le 2.
-1 \le -3x - 8 \le 2
-1 \le -3x - 8\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x - 8 \le 2
-1 + 8 \le -3x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x \le 2 + 8
7 \le -3x\hspace{4mm}|:(-3)\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x \le 10\hspace{4mm}|:(-3)
-\frac{7}{3} \ge x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x \ge -\frac{10}{3}
x\in\langle-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}\rangle
I jeszcze rozwiązanie krótszą metodą:
Przykład. Rozwiąż: -1 \le -3x - 8 \le 2.
-1 \le -3x - 8 \le 2
-1 + 8 \le -3x \le 2 + 8
7 \le -3x \le 10\hspace{4mm}|:(-3)
-\frac{7}{3} \ge x \ge -\frac{10}{3}
x\in\langle-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}\rangle
My w rozwiązaniach zadań preferujemy metodę krótszą. Niemniej Ty po prostu wybierz metodę, która bardziej Ci odpowiada.