Podwójna nierówność liniowa
Czasami spotykamy tzw. podwójne nierówności liniowe.
Na przykład:
-3 < x + 5 < 5
-1 \le -3x - 8 \le 2
Jak widzimy, mamy w takich nierównościach dwa znaki nierówności, stąd też nazwa "podwójna nierówność".
Nierówność taką możemy rozpisać na dwie nierówności połączone spójnikiem "i" (symbolicznie: "\wedge") i rozwiązywać osobno:
Przykład. Rozwiąż: -3 < x + 5 < 5.
-3 < x + 5 < 5
-3 < x + 5\quad\wedge\quad x + 5 < 5
-3 - 5 < x\quad\wedge\quad x < 5 - 5
-8 < x\quad\wedge\quad x < 0
x\in(-8,0)
Możemy również rozwiązywać takie nierówności krócej. Wystarczy wykonywać te same działania jednocześnie po lewej i prawej stronie nierówności oraz na wyrażeniu znajdującym się pomiędzy nimi:
Przykład. Rozwiąż: -3 < x + 5 < 5.
-3 < x + 5 < 5
-3 - 5 < x < 5 - 5
-8 < x < 0
x\in(-8,0)
Rozwiążmy jeszcze kolejną nierówność metodą z rozpisaniem na dwie nierówności:
Przykład. Rozwiąż: -1 \le -3x - 8 \le 2.
-1 \le -3x - 8 \le 2
-1 \le -3x - 8\quad\wedge\quad -3x - 8 \le 2
3x \le -8 + 1\quad\wedge\quad -3x \le 2 + 8
3x \le -7\quad |:3\quad\wedge\quad -3x \le 10\quad |:(-3)
x \le -\frac{7}{3}\quad\wedge\quad x \ge -\frac{10}{3}
x\in[-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}]
I jeszcze rozwiązanie krótszą metodą:
Przykład. Rozwiąż: -1 \le -3x - 8 \le 2.
-1 \le -3x - 8 \le 2
-1 + 8 \le -3x \le 2 + 8
7 \le -3x \le 10\quad |:(-3)
-\frac{7}{3} \ge x \ge -\frac{10}{3}
x\in[-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}]
W rozwiązaniach zadań preferujemy metodę krótszą, jednak możesz korzystać z tej metody, która jest dla Ciebie wygodniejsza.