0% przygotowania do matury

Podwójna nierówność liniowa

Zdarzają się nieraz do rozwiązania tzw. podwójne nierówności liniowe. Na przykład:

-3 < x + 5 < 5

-1 \le -3x - 8 \le 2

Jak widzimy, mamy w takich nierównościach aż dwa znaki mniejszości, stąd też nazwa "podwójna nierówność".

Nierówność taką możemy rozpisać na dwie nierówności (z użyciem "i", czyli symbolu "\wedge") i rozwiązywać osobno:

-3 < x + 5 < 5

-3 < x + 5\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x + 5 < 5

-3 - 5 < x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x < 5 - 5

-8 < x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x < 0

x\in(-8,0)

Możemy też rozwiązywać takie nierówności krócej (ale tylko w przypadku gdy po lewej jak i prawej stronie nierówności nie ma niewiadomej). Wystarczy wtedy wszystkie operacje prowadzące do wyznaczenia niewiadomej wykonywać po obydwu stronach nierówności:

-3 < x + 5 < 5

-3 - 5 < x < 5 - 5

-8 < x < 0

x\in(-8,0)

Rozwiążmy jeszcze kolejną nierówność metodą z rozpisaniem na dwie nierówności:

-1 \le -3x - 8 \le 2

-1 \le -3x - 8\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x - 8 \le 2

-1 + 8 \le -3x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x \le 2 + 8

7 \le -3x\hspace{4mm}|:(-3)\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}-3x \le 10\hspace{4mm}|:(-3)

-\frac{7}{3} \ge x\hspace{4mm}\wedge\hspace{4mm}x \ge -\frac{10}{3}

x\in\langle-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}\rangle

I jeszcze rozwiązanie krótszą metodą:

-1 \le -3x - 8 \le 2

-1 + 8 \le -3x \le 2 + 8

7 \le -3x \le 10\hspace{4mm}|:(-3)

-\frac{7}{3} \ge x \ge -\frac{10}{3}

x\in\langle-\frac{10}{3},-\frac{7}{3}\rangle

My w rozwiązaniach zadań preferujemy metodę krótszą. Niemniej Ty po prostu wybierz metodę, która bardziej Ci odpowiada.