Podzielność liczb

1. Liczby rzeczywiste.

Liczba całkowita a dzieli się przez liczbę całkowitą b jeśli w wyniku otrzymujemy liczbę całkowitą. Np. liczba 10 dzieli się przez 5, gdyż w wyniku otrzymujemy 2 (liczbę całkowitą), liczba 10 dzieli się przez -2, gdyż w wyniku otrzymujemy -5 (liczbę całkowitą), ale 10 nie dzieli się przez 6, gdyż w wyniku otrzymujemy: \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}, a 1\frac{2}{3} nie jest liczbą całkowitą.

Dzielnik i reszta z dzielenia

Jeśli liczba a dzieli się przez liczbę b, to liczbę b nazywamy jej dzielnikiem. Zatem liczba 5 jest dzielnikiem liczby 10, podobnie jak liczba 1, 2 i sama liczba 10.

Często jednak zamiast: "liczba a dzieli się przez liczbę b" słyszymy coś takiego: "a dzieli się przez liczbę b bez reszty". Wyjaśnijmy: co to ta reszta?

Liczbę 10 możemy zapisać jako: 10 = 2\cdot 5 + 0 co oznacza, że przy podzieleniu liczby 10 przez liczbę 5 otrzymujemy wynik 2 (liczba 5 dwa razy mieści się w liczbie 10) i nic więcej, zero reszty, stąd to "+\ 0". "Bez reszty" oznacza właśnie "zero reszty".

Weźmy teraz liczbę 10 i liczbę 6. Wiemy, że 10 nie dzieli się przez 6. Postępując podobnie jak poprzednio, możemy zapisać: 10 = 1\cdot 6 + 4. Oznacza to, że przy podzieleniu liczby 10 przez liczbę 6 otrzymujemy wynik 1 (liczba 6 jeden raz mieści się w liczbie 10) i jeszcze "+\ 4", którego nie możemy podzielić przez 6, stąd to 1\frac{4}{6} w wyniku, czyli 1\frac{2}{3}. Liczba 4 to właśnie reszta jaką otrzymujemy przy dzieleniu.

Teraz jeszcze liczby 25 i 6: 25 = 4\cdot 6 + 1, zatem dzieląc 25 przez 6 otrzymamy 4 całości i 1 reszty, czyli 4\frac{1}{6}.

Tak to działa. Jeśli otrzymujemy 0 reszty, to znaczy, że liczba jest podzielna przez tą drugą (stąd to dłuższe stwierdzenie: "dzieli się bez reszty").

Podsumujmy:

a w dzieleniu przez b daje resztę r, gdy: a = c\cdot b + r, gdzie: r \in \left\{0, 1, \ldots, b - 1\right\}.

Zapis r \in \left\{0, 1, \ldots, b - 1\right\} oznacza, że reszta może przyjmować wartości od 0 po kolei aż do b-1, czyli nie może być równa dzielnikowi b. Pamiętamy zapis: 10 = 2\cdot 5 + 0? Chodzi o to, by nie robić zapisów postaci: 10 = 1\cdot 5 + 5. Zatem dowolna liczba całkowita, na przykład przy podziale przez liczbę 4 może dawać resztę ze zbioru \{0, 1, 2, 3\}, zaś przy podziale przez liczbę 7 może dawać resztę ze zbioru \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Zaś przy podziale przez 1 może dawać tylko resztę równą 0. No i dobrze. W końcu wiemy, że wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1 (bez reszty właśnie).