0% przygotowania do matury

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to zapis jej wzoru w postaci iloczynu czynników. Sama funkcja się nie zmienia, zmienia się tylko jej zapis. Nie zawsze jednak postać iloczynowa funkcji kwadratowej istnieje. Aby istniała musi być spełniony warunek \Delta \ge 0:

Jeśli \Delta > 0, to y = a(x-x_{1})(x-x_{2}), gdzie x_{1}, x_{2} to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Jeśli \Delta = 0, to y = a(x-x_{0})^{2}, gdzie x_{0} to miejsce zerowe funkcji kwadratowej.

Jeśli \Delta < 0, to postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje.

Zadanie. Znajdź postać iloczynową funkcji kwadratowej: y = -2x^{2}+x+1.

Obliczamy deltę:

\Delta = 1^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9 > 0

Postać iloczynowa istnieje. Obliczamy miejsca zerowe funkcji:

x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2\cdot (-2)} = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1

x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2\cdot (-2)} = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}

Możemy już zapisać postać iloczynową funkcji:

y = a(x-x_{1})(x-x_{2}) = -2(x-1)(x-(-\frac{1}{2})) = -2(x-1)(x+\frac{1}{2})

Pamiętajmy o współczynniku a, który znajduje się przed iloczynem. Wiele osób o nim zapomina.

Jeśli wymnożymy postać iloczynową i zredukujemy wyrazy podobne, to z powrotem otrzymamy wzór ogólny funkcji kwadratowej. Tak jak było napisane wcześniej: postać iloczynowa to inny zapis wzoru tej samej funkcji kwadratowej.

Zadanie. Znajdź postać iloczynową funkcji kwadratowej: y = x^{2} - 4x + 4.

Obliczamy deltę:

\Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

Postać iloczynowa istnieje. Obliczamy miejsce zerowe funkcji:

x_{0} = \frac{4}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2

Możemy już zapisać postać iloczynową funkcji:

y = a(x-x_{0})^{2} = 1(x-2)^{2} = (x-2)^{2}

Mogliśmy zapisać od razu (bez liczenia delty) postać iloczynową tej funkcji ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^2

Zadanie. Znajdź postać iloczynową funkcji kwadratowej: y = 3x^{2} + x + 1.

Obliczamy deltę:

\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0

Postać iloczynowa nie istnieje. Mówimy, że funkcja nie jest rozkładalna na czynniki.