Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to taki zapis jej wzoru, z którego możemy odczytać współrzędne jej wierzchołka:
W odróżnieniu od postaci iloczynowej, postać kanoniczna funkcji kwadratowej zawsze istnieje.
Jeśli uwzględnimy we wzorze na postać kanoniczną wzory na x_{W}, y_{W}, to otrzymamy:
Przykład. Znajdź postać kanoniczną funkcji kwadratowej: y = 3x^{2} + 4x + 1.
Obliczamy najpierw współrzędne wierzchołka tej funkcji:
x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2\cdot3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4\cdot3\cdot1 = 16 - 12 = 4
y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-4}{4\cdot3} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}
Mamy x_{W}, y_{W}, zatem możemy zapisać wzór ogólny y = 3x^{2} + 4x + 1 w postaci kanonicznej:
y = a(x-x_{W})^{2}+y_{W} = 3(x-(-\frac{2}{3}))^{2}+(-\frac{1}{3}) = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3}
Postać kanoniczna gotowa.
Sama funkcja kwadratowa nie ulega zmianie. Zmienia się tylko zapis jej wzoru. Jeśli podniesiemy (x+\frac{2}{3}) do kwadratu, przemnożymy przez 3 i zredukujemy wyrazy podobne, to z powrotem otrzymamy wzór ogólny funkcji kwadratowej:
y = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3} = 3(x^{2} + 2\cdot x\cdot\frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2}) - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 3\cdot\frac{4}{3}x+3\cdot\frac{4}{9} - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 4x + 1
Jeśli mamy daną postać kanoniczną funkcji kwadratowej, to możemy od razu odczytać współrzędnej wierzchołka tej funkcji.
Przykład. Podaj współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej: y = 2(x-1)^{2}+4.
Ponieważ y = a(x-x_{W})^{2}+y_{W} to odczytujemy, że:
x_{W} = 1
y_{W} = 4
Zatem wierzchołek tej funkcji ma współrzędne: (1,4).
Inne przykłady:
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = (x+2)^{2} -1 ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = -2 i y_{W} = -1,
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = x^{2} -4 ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = 0 i y_{W} = -4, bo y = x^{2} -4 = (x-0)^{2}-4,
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = 4(x-3)^{2} ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = 3 i y_{W} = 0, bo y = 4(x-3)^{2} = 4(x-3)^{2}+0.
Warto zapamiętać, że odczytując x_{W} z postaci kanonicznej zmieniamy znak liczby stojącej za x.