0% przygotowania do matury

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to taki zapis jej wzoru, z którego możemy odczytać współrzędne jej wierzchołka:

y = a(x-x_{W})^{2}+y_{W}, gdzie x_{W}, y_{W} to współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej.

W odróżnieniu od postaci iloczynowej, postać kanoniczna funkcji kwadratowej zawsze istnieje.

Jeśli uwzględnimy we wzorze na postać kanoniczną wzory na x_{W}, y_{W}, to otrzymamy:

y = a(x-\frac{-b}{2a})^{2}+\frac{-\Delta}{4a} = a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a}

Zadanie. Znajdź postać kanoniczną funkcji kwadratowej: y = 3x^{2} + 4x + 1.

Obliczamy najpierw współrzędne wierzchołka tej funkcji:

x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2\cdot3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}

\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4\cdot3\cdot1 = 16 - 12 = 4

y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-4}{4\cdot3} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}

Mamy x_{W}, y_{W}, zatem możemy zapisać wzór ogólny y = 3x^{2} + 4x + 1 w postaci kanonicznej:

y = a(x-x_{W})^{2}+y_{W} = 3(x-(-\frac{2}{3}))^{2}+(-\frac{1}{3}) = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3}

Postać kanoniczna gotowa.

Sama funkcja kwadratowa nie ulega zmianie. Zmienia się tylko zapis jej wzoru. Jeśli podniesiemy (x+\frac{2}{3}) do kwadratu, przemnożymy przez 3 i zredukujemy wyrazy podobne, to z powrotem otrzymamy wzór ogólny funkcji kwadratowej:

y = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3} = 3(x^{2} + 2\cdot x\cdot\frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2}) - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 3\cdot\frac{4}{3}x+3\cdot\frac{4}{9} - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 4x + 1

Jeśli mamy daną postać kanoniczną funkcji kwadratowej, to możemy od razu odczytać współrzędnej wierzchołka tej funkcji.

Zadanie. Podaj współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej: y = 2(x-1)^{2}+4.

Ponieważ y = a(x-x_{W})^{2}+y_{W} to odczytujemy, że:

x_{W} = 1

y_{W} = 4

Zatem wierzchołek tej funkcji ma współrzędne: (1,4).

Inne przykłady:

  • funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = (x+2)^{2} -1 ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = -2 i y_{W} = -1,
  • funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = x^{2} -4 ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = 0 i y_{W} = -4, bo y = x^{2} -4 = (x-0)^{2}-4,
  • funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = 4(x-3)^{2} ma wierzchołek o współrzędnych: x_{W} = 3 i y_{W} = 0, bo y = 4(x-3)^{2} = 4(x-3)^{2}+0.

Warto zapamiętać, że odczytując x_{W} z postaci kanonicznej zmieniamy znak liczby stojącej za x.