Przekształcenia równań z wyrażeniami wymiernymi
W równaniach mogą pojawiać się wyrażenia wymierne.
Na przykład:
\frac{3x + 1}{x + 2} = 2
\frac{5}{x + 1} = \frac{x + 3}{2x - 1}
Rozwiązywanie równania z wyrażeniem wymiernym należy zawsze rozpocząć od wyznaczenia dziedziny, czyli wszystkich wartości x, dla których równanie jest określone. Mianownik nie może być równy zero, dlatego należy znaleźć wartości zerujące mianownik i wykluczyć je z dziedziny.
Przykład. Rozwiąż równanie: \frac{3x + 1}{x + 2} = 2.
1. Dziedzina. Mianownik musi być różny od zera:
x + 2 \ne 0
x \ne -2
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}
2. Usunięcie mianownika. Mnożymy obie strony równania przez x + 2:
\frac{3x + 1}{x + 2} = 2\quad |\cdot(x+2)
3x + 1 = 2(x + 2)
3x + 1 = 2x + 4
3x - 2x = 4 - 1
x = 3
3. Sprawdzenie dziedziny.
Rozwiązanie x = 3 należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem równania.
Przykład. Rozwiąż równanie: \frac{5}{x + 1} = \frac{x + 3}{2x - 1}.
1. Dziedzina. Mianowniki muszą być różne od zera:
x + 1 \ne 0\quad\wedge\quad 2x - 1 \ne 0
x \ne -1\quad\wedge\quad x \ne \frac{1}{2}
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-1, \frac{1}{2}\right\}
2. Usunięcie mianowników. Mnożymy obie strony równania przez (x + 1)(2x - 1):
\frac{5}{x + 1} = \frac{x + 3}{2x - 1}\quad |\cdot(x + 1)(2x - 1)
5(2x - 1) = (x + 3)(x + 1)
10x - 5 = x^{2} + x + 3x + 3
0 = x^2 + 4x - 10x + 3 + 5
x^2 - 6x + 8 = 0\quad
\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 > 0
x_{1} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2\cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2
x_{2} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2\cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4
Otrzymaliśmy zatem kandydatów na rozwiązania:
x = 2\quad \vee\quad x = 4
3. Sprawdzenie dziedziny.
Zarówno x = 2, jak i x = 4 należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.
Jeżeli wśród otrzymanych wyników pojawią się wartości wykluczone z dziedziny, należy je odrzucić.
Na przykład, jeśli otrzymamy:
x = 2\quad \vee\quad x = 3
a dziedzina jest równa:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{3\right\}
to rozwiązaniem równania jest:
x = 2