0% przygotowania do matury

Reguła mnożenia

Regułę mnożenia (zasadę mnożenia) wykorzystujemy do zliczenia zdarzeń elementarnych dla doświadczeń losowych, które można podzielić na etapy.

Jeśli doświadczenie losowe możemy podzielić na dwa etapy i pierwszy etap możemy wykonać na n_{1} sposobów, zaś drugi na n_{2} sposobów, to całą czynność możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2} sposobów.

Zadanie. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu?

Czynność rzucania dwiema kostkami można podzielić na dwa etapy:

  • etap 1: rzut pierwszą kostką do gry,
  • etap 2: rzut drugą kostką do gry.

Etap 1 możemy wykonać na n_{1} = 6 sposobów (tyle jest możliwych różnych wyników rzutu sześcienną kostką). Etap 2 też możemy wykonać na n_{2} = 6 sposobów. Zatem z reguły mnożenia: n_{1}\cdot n_{2} = 6\cdot 6 = 36. Tyle jest wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma sześciennymi kostkami. Obliczenia można poprzeć rysunkiem:

wynik
na I kostce
6
wynik
na II kostce
6
\cdot
= 36
reguła mnożenia dla rzutu dwoma sześciennymi kostkami do gry

Doświadczenie losowe może się też składać z trzech etapów. Regułę mnożenia stosujemy wtedy bardzo podobnie. Niech:

  • n_{1} to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 1,
  • n_{2} to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 2,
  • n_{3} to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 3.

Wtedy całą czynność możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3} sposobów.

Zadanie. Ile mamy nieparzystych liczb trzycyfrowych?

Wszystkich cyfr mamy dziesięć: \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Czynność składania liczby trzycyfrowej możemy podzielić na trzy etapy:

  • etap 1: wybór cyfry setek,
  • etap 2: wybór cyfry dziesiątek,
  • etap 3: wybór cyfry jedności.

Etap 1 możemy wykonać na n_{1} = 9 sposobów (cyfrą setek może być dowolna cyfra oprócz 0, bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa). Etap 2 możemy wykonać na n_{2} = 10 sposobów (dowolna cyfra może stać na miejscu cyfry dziesiątek). Etap 3 możemy wykonać na n_{3} = 5 sposobów (ponieważ liczba ma być nieparzysta, to cyfrą jedności musi być jedna z cyfr: \{1, 3, 5, 7, 9\}). Zatem z reguły mnożenia całą czynność ułożenia nieparzystej liczby trzycyfrowej możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3} = 9\cdot 10\cdot 5 = 450 sposobów. Czyli mamy 450 nieparzystych liczb trzycyfrowych. Obliczenia można poprzeć rysunkiem:

cyfra
setek
9
cyfra
dziesiątek
10
cyfra
jedności
5
\cdot
\cdot
= 450
reguła mnożenia dla układania nieparzystej liczby trzycyfrowej

Regułę mnożenia analogicznie rozszerzamy na doświadczenia losowe (czynności) złożone z większej liczby etapów.