Równania i nierówności sprzeczne i tożsamościowe
Po wykonaniu przekształceń równania lub nierówności może się okazać, że niewiadoma zniknie z obu stron. W takiej sytuacji otrzymujemy zdanie prawdziwe albo fałszywe. Jeżeli otrzymamy zdanie fałszywe, to równanie lub nierówność jest sprzeczne. Jeżeli otrzymamy zdanie prawdziwe, to równanie lub nierówność jest tożsamościowe.
Równanie sprzeczne
Równanie jest sprzeczne, gdy po przekształceniach otrzymujemy fałszywą równość, np.:
0 = 5
Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań.
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x + 3 = 2x + 5.
3 = 5
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem:
x \in \varnothing
Równanie tożsamościowe
Równanie jest tożsamościowe, gdy po przekształceniach otrzymujemy prawdziwą równość, np.:
0 = 0
Oznacza to, że każda liczba rzeczywista spełnia równanie.
Przykład. Rozwiąż równanie: 3x + 4 = 3x + 4.
0 = 0
Otrzymaliśmy prawdziwą równość dla każdej wartości x, zatem:
x \in \mathbb{R}
Nierówność sprzeczna
Nierówność jest sprzeczna, gdy po przekształceniach otrzymujemy fałszywą nierówność, np.:
5 < 3
Oznacza to, że nierówność nie ma rozwiązań.
Przykład. Rozwiąż nierówność: 2x + 1 > 2x + 4.
1 > 4
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem:
x \in \varnothing
Nierówność tożsamościowa
Nierówność jest tożsamościowa, gdy po przekształceniach otrzymujemy prawdziwą nierówność, np.:
3 < 5
Oznacza to, że każda liczba rzeczywista spełnia nierówność.
Przykład. Rozwiąż nierówność: 4x - 2 \le 4x + 1.
-2 \le 1
Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność dla każdej wartości x, zatem:
x \in \mathbb{R}