Równanie wielomianowe
Równanie wielomianowe to wielomian przyrównany do zera, np.
x^{3} - 3x = 0
(x - 1)(x^{2} + 3x - 10) = 0\quad (równanie wielomianowe w postaci iloczynowej)
Zauważmy, że równaniem wielomianowym jest zarówno równanie liniowe jak i równanie kwadratowe. Wynika to z faktu, że wielomian pierwszego stopnia to funkcja liniowa, a wielomian drugiego stopnia to funkcja kwadratowa.
Rozwiązywanie równań wielomianowych
Istnieje kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych. Na maturze podstawowej z matematyki rozwiązujemy równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej. Nieraz wymaga to wcześniej wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias.
Przykład. Rozwiąż równanie: x^{3} - 3x = 0.
Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
x(x^{2} - 3) = 0
Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
x = 0\quad \vee\quad x^{2} - 3 = 0
x = 0\quad \vee\quad x^{2} = 3\quad |\sqrt{\phantom{x}}
x = 0\quad \vee\quad |x| = \sqrt{3}
x = 0\quad \vee\quad x = \sqrt{3}\quad \vee\quad x = -\sqrt{3}
Ostatecznie:
x \in \left\{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\right\}
Przykład. Rozwiąż równanie: (x - 1)(x^{2} + 3x - 10) = 0.
Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
x - 1 = 0\quad \vee\quad x^{2} + 3x - 10 = 0
x = 1\quad \vee\quad x^{2} + 3x - 10 = 0
Drugie równanie to równanie kwadratowe. Rozwiążmy je z wykorzystaniem delty:
\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 > 0
x_{1} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2\cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5
x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2\cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
Zatem:
x = 1\quad \vee\quad x = -5 \quad \vee\quad x = 2
Ostatecznie:
x \in \{-5, 1, 2\}