Równanie wielomianowe
Równanie wielomianowe to wielomian przyrównany do zera, np:
x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6 = 0
(x - 1)(x^{2} + 3x - 10) = 0\hspace{4mm} (równanie wielomianowe z wielomianem w postaci iloczynowej)
Zauważmy, że równaniem wielomianowym jest zarówno równanie liniowe jak i równanie kwadratowe. Jest tak, bo wielomian pierwszego stopnia to funkcja liniowa, zaś wielomian drugiego stopnia to funkcja kwadratowa.
Rozwiązywanie równań wielomianowych
Istnieje kilka metod rozwiązywania równań wielomianowych. Nas na maturze obowiązuje rozwiązanie równania wielomianowego poprzez rozkład wielomianu na czynniki (o ile wielomian nie jest od razu doprowadzony do postaci iloczynowej).
Przykład. Rozwiąż równanie: x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6 = 0.
Ten wielomian można pogrupować:
x^{2}(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x - 2)(x^{2} - 3) = 0
Drugi czynnik możemy jeszcze rozłożyć na czynniki stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
(x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0
Rozłożyliśmy wielomian x^{3} - 2x^{2} - 3x + 6 na czynniki: (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}). Iloczyn ten jest przyrównany do zera w naszym równaniu. A kiedy iloczyn liczb jest równy 0? Wtedy kiedy co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0. Zatem możemy zapisać:
x - 2 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x - \sqrt{3} = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x + \sqrt{3} = 0
Rozwiążmy każde z tych mini-równań:
x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = \sqrt{3}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = - \sqrt{3}
Gotowe. Inaczej ten sam wynik możemy jeszcze zapisać w postaci zbioru:
x \in \left\{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\right\}
Rozkładanie na czynniki mogliśmy zakończyć w momencie, gdy otrzymaliśmy czynnik drugiego stopnia:
(x - 2)(x^{2} - 3) = 0
Już tutaj mogliśmy przejść do przyrównania tych dwóch czynników do zera:
x - 2 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} - 3 = 0
x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} = 3\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}
x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} |x| = \sqrt{3}
x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = \sqrt{3}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = - \sqrt{3}
Przykład. Rozwiąż równanie: (x - 1)(x^{2} + 3x - 10) = 0.
Jest to wielomian w postaci iloczynowej. Kiedy iloczyn dwóch czynników jest równy 0? Kiedy jeden lub drugi jest równy 0, czyli:
x - 1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} + 3x - 10 = 0
x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} + 3x - 10 = 0
Drugie równanie to równanie kwadratowe. Rozwiążmy je z pomocą delty:
\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 > 0, czyli mamy dwa rozwiązania:
x_{1} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2\cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5
x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2\cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
Podsumowując, otrzymaliśmy następujące rozwiązania:
x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -5 \hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 2
Co możemy zapisać w postaci zbioru:
x \in \{-5, 1, 2\}