Równanie wymierne
Równanie wymierne to wyrażenie wymierne przyrównane do zera. Na przykład:
\frac{3x + 1}{x + 2} = 0
\frac{2x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = 0
Nieraz mamy do czynienia z wyrażeniem wymiernym przyrównanym do innego wielomianu:
\frac{2x + 4}{1 - x} = 2
\frac{x - 3}{5x + 1} = 3x
Rozwiązywanie równań wymiernych
Rozwiązanie równania wymiernego należy zawsze rozpocząć od wyznaczenia jego dziedziny, czyli tych x, dla których równanie wymierne jest dobrze określone. W równaniach wymiernych mamy wielomian w mianowniku. Zatem musimy napisać, że ten mianownik musi być różny od 0.
Przykład. Rozwiąż równanie: \frac{x^2 + x + 2}{x + 1} = 2.
Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik musi być różny od 0:
x + 1 \ne 0
x \ne -1
Dziedzina wyznaczona. Zapisujemy ją jako:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}
Teraz pozbywamy się mianownika, mnożąc przez niego obydwie strony równania:
\frac{x^2 + x + 2}{x + 1} = 2\hspace{4mm}|\cdot(x+1)
x^2 + x + 2 = 2(x + 1)\hspace{4mm} (otrzymaliśmy równanie wielomianowe, wystarczy przerzucić wszystko na lewą stronę)
x^2 + x + 2 - 2(x + 1) = 0
x^2 + x + 2 - 2x - 2 = 0
x^2 - x = 0\hspace{4mm} (otrzymaliśmy równanie kwadratowe)
x(x - 1) = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x - 1 = 0
x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 1\hspace{4mm} (otrzymaliśmy rozwiązania)
UWAGA! To jeszcze nie koniec! Dziedzina!
Musimy pamiętać, że dziedziną nie są wszystkie liczby rzeczywiste, gdyż odrzuciliśmy -1. Sprawdzamy zatem, czy -1 nie ma wśród naszych rozwiązań. Nie ma. Zatem rzeczywiście naszym rozwiązaniem jest: x = 0 \vee x = 1.
Jeśli wśród rozwiązań byłyby liczby, które wyrzuciliśmy z dziedziny, musielibyśmy je także odrzucić z rozwiązania. Jeśli otrzymalibyśmy rozwiązanie: x = 2 \vee x = 3, zaś D = \mathbb{R}\setminus\left\{3\right\}, to jako ostateczne rozwiązanie podalibyśmy: x = 2.
Jeśli w mianowniku równania wymiernego byłby wielomian większego stopnia, to należałoby znaleźć miejsca zerowe tego wielomianu, czyli rozwiązać odpowiednie równanie wielomianowe, a następnie odrzucić rozwiązania z dziedziny. Na przykład jeśli w mianowniku mielibyśmy funkcję kwadratową: x^2 + 4x - 5, to najpierw powinniśmy napisać, że x^2 + 4x - 5 \ne 0 a następnie rozwiązać równanie x^2 + 4x - 5 = 0, po czym rozwiązania (o ile będą) wyrzucić z \mathbb{R}.
Pamiętajmy zatem o dziedzinie. To bardzo ważne. Układający zadania często lubią tworzyć "haki" polegające na tym, że w rozwiązaniu są liczby spoza dziedziny. Dlaczego tak to lubią? Bo wiele osób niestety o tym zapomina.