0% przygotowania do matury

Równanie wielomianowe

Równanie wielomianowe to wielomian przyrównany do zera, np:

3x^{3} + 2x^{2} - x + 5 = 0

(x - 1)(x^{2} + 3x - 8) = 0\hspace{4mm} (równanie wielomianowe z wielomianem w postaci iloczynowej)

Zauważmy, że równaniem wielomianowym jest zarówno równanie liniowe jak i równanie kwadratowe. Jest tak, bo wielomian pierwszego stopnia to funkcja liniowa, zaś wielomian drugiego stopnia to funkcja kwadratowa.

Rozwiązywanie równań wielomianowych

Na maturze podstawowej z matematyki zdarzają się wyłącznie równania wielomianowe z wielomianami pierwszego (funkcjami liniowymi) lub drugiego stopnia (funkcjami kwadratowymi). Czyli otrzymujemy do rozwiązania równania liniowe, kwadratowe lub wielomianowe z wielomianem w postaci iloczynowej.

Zadanie. Rozwiąż równanie (x - 2)(x^{2} - 3) = 0.

Jest to równanie wielomianowe z wielomianem w postaci iloczynowej. Kiedy iloczyn dwóch czynników jest równy 0?

Kiedy pierwszy lub drugi z nich jest równy 0:

x - 2 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} - 3 = 0

Rozwiązujemy tak powstałe równania:

x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} = 3\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}

x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} |x| = \sqrt{3}\hspace{4mm} (niewiadoma w module)

x = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = \sqrt{3}\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = - \sqrt{3}

Gotowe. Inaczej ten sam wynik możemy jeszcze zapisać w postaci zbioru:

x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}

Zadanie. Rozwiąż równanie x(x - 1)(x^{2} + 4) = 0.

I znów iloczyn jest równy 0, czyli co najmniej jeden z czynników musi być równy 0:

x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x - 1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} + 4 = 0

x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^{2} = -4

Trzecie równanie jest sprzeczne, gdyż kwadrat dowolnej liczby nie może być ujemny, zatem ostatecznym rozwiązaniem jest:

x = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 1

I jeszcze to samo rozwiązanie zapisane w postaci zbioru:

x \in \{0, 1\}