0% przygotowania do matury

Równanie wymierne

Równanie wymierne to wyrażenie wymierne przyrównane do zera. Na przykład:

\frac{3x + 1}{x + 2} = 0

\frac{2x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = 0

Nieraz mamy do czynienia z wyrażeniem wymiernym przyrównanym do innego wielomianu:

\frac{2x + 4}{1 - x} = 2

\frac{x - 3}{5x + 1} = 3x

Rozwiązywanie równań wymiernych

Rozwiązanie równania wymiernego należy zawsze rozpocząć od wyznaczenia jego dziedziny, czyli tych x, dla których równanie wymierne jest dobrze określone. W równaniach wymiernych mamy wielomian w mianowniku. Zatem musimy napisać, że ten mianownik musi być różny od 0.

Zadanie. Rozwiąż równanie: \frac{2x + 2}{x + 3} = x.

Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik musi być różny od 0:

x + 3 \ne 0

x \ne -3

Dziedzina wyznaczona. Zapisujemy ją jako:

D = \mathbb{R}\setminus\{-3\}

Teraz pozbywamy się mianownika, mnożąc przez niego obydwie strony równania:

\frac{2x + 2}{x + 3} = x\hspace{4mm}|\cdot(x+3)

2x + 2 = x(x + 3)\hspace{4mm} (otrzymaliśmy równanie wielomianowe, wystarczy przerzucić wszystko na lewą stronę)

2x + 2 - x(x + 3) = 0

2x + 2 - x^2 - 3x = 0

- x^2 - x + 2 = 0\hspace{4mm} (otrzymaliśmy równanie kwadratowe)

\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 8 = 9

\Delta > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot (-1)} = \frac{1-3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1

x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot (-1)} = \frac{1+3}{-2} = \frac{4}{-2} = -2

UWAGA! To jeszcze nie koniec! Dziedzina!

Musimy pamiętać, że dziedziną nie są wszystkie liczby rzeczywiste, gdyż odrzuciliśmy -3. Sprawdzamy zatem, czy -3 nie ma wśród naszych rozwiązań. Nie ma. Zatem rzeczywiście naszym rozwiązaniem jest: x = 1 \vee x = -2.

Jeśli wśród rozwiązań byłyby liczby, które wyrzuciliśmy z dziedziny, musielibyśmy je także odrzucić z rozwiązania. Jeśli otrzymalibyśmy rozwiązanie: x = 2 \vee x = 3, zaś D = \mathbb{R}\setminus\left\{3\right\}, to jako ostateczne rozwiązanie podalibyśmy: x = 2.

Pamiętajmy zatem o dziedzinie. To bardzo ważne. Układający zadania często lubią tworzyć "haki" polegające na tym, że w rozwiązaniu są liczby spoza dziedziny. Dlaczego tak to lubią? Bo wiele osób niestety o tym zapomina.