Równanie z wartością bezwzględną
Na maturze podstawowej z matematyki obowiązują nas tylko równania z wartością bezwzględną typu:
|x-a| = b
gdzie a \in \mathbb{R}, zaś b>0.
Na przykład:
|x-4| = 2\hspace{4mm}(a=4, b=2)
|x+5| = 8\hspace{4mm}(a=-5, b=8)
|x| = 5\hspace{4mm}(a=0, b=5)
Wartości bezwzględnej pozbywamy się zgodnie z zasadą:
x-a = b \hspace{2mm}\vee\hspace{2mm} x-a = -b
Przykład. Rozwiąż: |x-4| = 2.
|x-4| = 2
x-4 = 2\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x-4 = -2
x = 2+4\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -2+4
x = 6\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = 2
Przykład. Rozwiąż: |x+5| = 8.
|x+5| = 8
x+5 = 8\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x+5 = -8
x = 8-5\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -8-5
x = 3\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -13
Przykład. Rozwiąż: |x| = 5.
|x| = 5
x = 5\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x = -5
A co by było gdybyśmy mieli |x-a| = 0? Ponieważ tylko |0| = 0, to x-a = 0.
Przykład. Rozwiąż: |x+2| = 0.
|x+2| = 0
x+2 = 0
x = -2
A co jeśli byśmy mieli na przykład: |x-a| = -6? Wartość bezwzględna równa liczbie ujemnej? Czy jest to możliwe? Nie, wartość bezwzględna może być tylko liczbą nieujemną. Zatem równanie |x-a| = -6 nie ma rozwiązania, co zapisujemy: x \in \varnothing.
Przykład. Rozwiąż: |x-7| = -4.
|x-7| = -4
x \in \varnothing