Równanie z wartością bezwzględną
Na maturze podstawowej z matematyki obowiązują nas tylko równania z wartością bezwzględną typu:
|x| = b
|x-a| = b
gdzie a \in \mathbb{R}, zaś b>0.
Na przykład:
|x| = 5\quad (b=5)
|x-4| = 2\quad (a=4, b=2)
|x+5| = 8\quad (a=-5, b=8)
Wartość bezwzględną rozpisujemy zgodnie z zasadą:
x= b \hspace{2mm}\vee\hspace{2mm} x= -b
Podobnie:
x-a = b \hspace{2mm}\vee\hspace{2mm} x-a = -b
Przykład. Rozwiąż: |x| = 5.
|x| = 5
x = 5\quad \vee\quad x = -5
Przykład. Rozwiąż: |x-4| = 2.
|x-4| = 2
x-4 = 2\quad \vee\quad x-4 = -2
x = 2+4\quad \vee\quad x = -2+4
x = 6\quad \vee\quad x = 2
Przykład. Rozwiąż: |x+5| = 8.
|x+5| = 8
x+5 = 8\quad \vee\quad x+5 = -8
x = 8-5\quad \vee\quad x = -8-5
x = 3\quad \vee\quad x = -13
Równanie z wartością bezwzględną równe zeru
Co się stanie, gdy mamy:
|x-a| = 0
Ponieważ wartość bezwzględna liczby jest równa zero tylko dla liczby 0, to:
x-a = 0
Przykład. Rozwiąż: |x+2| = 0.
|x+2| = 0
x+2 = 0
x = -2
Przykład. Rozwiąż: |x| = 0.
|x| = 0
x = 0
Równanie z wartością bezwzględną równe liczbie ujemnej
A co, jeśli mamy:
|x-a| = -6
Czy wartość bezwzględna może być równa liczbie ujemnej?
Nie. Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną. Zatem równanie:
|x-a| = -6
nie ma rozwiązań.
Zapisujemy:
x \in \varnothing
Przykład. Rozwiąż: |x-7| = -4.
|x-7| = -4
x \in \varnothing
Przykład. Rozwiąż: |x| = -1.
|x| = -1
x \in \varnothing