Różnica ciągu arytmetycznego
Różnica pomiędzy sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym jest zawsze stała. Oznaczamy ją literą r i nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, co zapisujemy:
Jest to wzór przydatny przy badaniu, czy ciąg zadany wzorem ogólnym jest arytmetyczny. Obliczamy wtedy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów: a_{n+1} - a_{n}. Jeśli otrzymujemy stałą wartość (niezależną od n), to ciąg jest arytmetyczny, a my właśnie obliczyliśmy jego różnicę r.
Przykład. Zbadaj, czy ciąg a_{n} = 7n + 2 jest arytmetyczny.
Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
a_{1} = 7\cdot1+2 = 9
a_{2} = 7\cdot2+2 = 14 + 2 = 16
a_{3} = 7\cdot3+2 = 21 + 2 = 23
a_{4} = 7\cdot4+2 = 28 + 2 = 30
Wygląda na to, że jest to ciąg arytmetyczny (kolejne wyrazy są większe od poprzednich wyrazów o 7). Ale sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Obliczmy a_{n+1} - a_{n}:
a_{n+1} - a_{n} = 7(n+1) + 2 - (7n+2) = 7n+7+2-7n-2 = 7
Otrzymaliśmy stałą różnicę równą 7 (niezależną od n). Zatem jest to ciąg arytmetyczny o r = 7.
Przykład. Zbadaj, czy ciąg b_{n} = 2n^{2} + 1 jest arytmetyczny.
Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
b_{1} = 2\cdot1^{2} + 1 = 2\cdot1 + 1 = 2 + 1 = 3
b_{2} = 2\cdot2^{2} + 1 = 2\cdot4 + 1 = 8 + 1 = 9
b_{3} = 2\cdot3^{2} + 1 = 2\cdot9 + 1 = 18 + 1 = 19
Już przy trzecim wyrazie widać, że nie jest to ciąg arytmetyczny, bo różnica b_{2} - b_{1} = 9 - 3 = 6, zaś różnica b_{3} - b_{2} = 19 - 9 = 10. I to wystarczy. Nic więcej nie trzeba liczyć. Skoro trzy pierwsze wyrazy nie spełniają warunku ciągu arytmetycznego, to cały ciąg go nie spełnia. Gdybyśmy nie wypisywali pierwszych wyrazów tego ciągu, tylko od razu obliczyli różnicę b_{n+1} - b_{n} przy dowolnym n \in \mathbb{N}_+, to otrzymalibyśmy:
b_{n+1} - b_{n} = 2(n+1)^{2} + 1 - (2n^{2}+1) = 2(n^{2}+2n+1) + 1 - 2n^{2} - 1 = 2n^{2} + 4n + 2 - 2n^{2} = 4n + 2
Różnica 4n+2 nie jest stała (zależy od n). Nie jest to ciąg arytmetyczny.