0% przygotowania do matury

Różnica ciągu arytmetycznego

Różnica pomiędzy sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym jest zawsze stała i równa r (dlatego też r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego), co zapisujemy:

a_{n+1} - a_{n} = r

Jest to wzór przydatny przy badaniu czy ciąg zadany wzorem ogólnym jest arytmetyczny. Obliczamy wtedy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów: a_{n+1} - a_{n} i jeśli wychodzi stała (niezależna od n), to ciąg jest arytmetyczny, a my właśnie obliczyliśmy jego różnicę r.

Zadanie. Zbadaj czy ciąg a_{n} = 7n + 2 jest arytmetyczny.

Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

a_{1} = 7\cdot1+2 = 9

a_{2} = 7\cdot2+2 = 14 + 2 = 16

a_{3} = 7\cdot3+2 = 21 + 2 = 23

a_{4} = 7\cdot4+2 = 28 + 2 = 30

Wygląda na to, że jest to ciąg arytmetyczny (kolejne wyrazy są większe od poprzednich wyrazów o 7). Ale sprawdziliśmy tylko cztery pierwsze wyrazy, a ciąg ma ich nieskończoną liczbę. Obliczmy a_{n+1} - a_{n}:

a_{n+1} - a_{n} = 7(n+1) + 2 - (7n+2) = 7n+7+2-7n-2 = 7

Otrzymaliśmy stałą różnicę równą 7 (niezależną od n). Zatem jest to ciąg arytmetyczny o r = 7.

Zadanie. Zbadaj czy ciąg b_{n} = 2n^{2} + 1 jest arytmetyczny.

Obliczmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

b_{1} = 2\cdot1^{2} + 1 = 2\cdot1 + 1 = 2 + 1 = 3

b_{2} = 2\cdot2^{2} + 1 = 2\cdot4 + 1 = 8 + 1 = 9

b_{3} = 2\cdot3^{2} + 1 = 2\cdot9 + 1 = 18 + 1 = 19

Już przy trzecim wyrazie widać, że nie jest to ciąg arytmetyczny, gdyż różnica a_{2} - a_{1} = 9 - 3 = 6, zaś różnica a_{3} - a_{2} = 19 - 9 = 10. I to wystarczy. Nic więcej nie trzeba liczyć. Skoro trzy pierwsze wyrazy nie spełniają warunku ciągu arytmetycznego, to cały ciąg go nie spełnia. Jeśli byśmy nie wypisywali pierwszych wyrazów tego ciągu, tylko od razu obliczyli różnicę a_{n+1} - a_{n} przy dowolnym n \in \mathbb{N_{+}}, to byśmy otrzymali:

a_{n+1} - a_{n} = 2(n+1)^{2} + 1 - (2n^{2}+1) = 2(n^{2}+2n+1) + 1 - 2n^{2} - 1 = 2n^{2} + 4n + 2 - 2n^{2} = 4n + 2

Różnica 4n+2 nie jest stała (zależy od n). Nie jest to ciąg arytmetyczny.