0% przygotowania do matury

Różnica przedziałów

Mówiąc o różnicy przedziałów, mówimy o różnicy zbiorów. W praktyce, gdy chcemy od pierwszego przedziału odjąć (słowo "odjąć" oznacza właśnie "różnicę") drugi przedział, to najlepiej obydwa narysować na osi liczbowej, a następnie spisać przedział, który obejmuje tylko te liczby, które są w pierwszym przedziale, ale nie są w drugim przedziale.

Zadanie. Wyznacz różnicę przedziałów: (1,5\rangle \setminus \langle3,4).

Narysujmy te przedziały na jednej osi liczbowej:

przedziały (1,5\rangle oraz \langle3,4) na osi liczbowej

Teraz spiszmy przedział, który obejmuje tylko tę część przedziału (1,5\rangle, która nie jest w przedziale \langle3,4). Patrząc od lewej strony będą to liczby od 1, bez tego krańca (niezamalowane kółko), do 3, też bez tego krańca (kółko zamalowane przy krańcu 3 oznacza, że ta liczba należy do przedziału \langle3,4), a my przecież nie chcemy liczb z tego przedziału). Idąc dalej: od liczby 4, wraz z tą liczbą (gdyż nie jest ona zawarta w przedziale \langle3,4), który odrzucamy, zatem zostaje ona z nami), do liczby 5, wraz z tą liczbą (bo mamy zamalowane kółko). Czyli otrzymujemy przedział: (1,3) \cup \langle 4,5\rangle.

przedział (1,3) \cup \langle 4,5\rangle na osi liczbowej
(różnica przedziałów: (1,5\rangle \setminus \langle3,4))

Jeśli byśmy dokonali odejmowania odwrotnego, czyli od przedziału \langle3,4) odjęli przedział (1,5\rangle to byśmy otrzymali \emptyset (zbiór pusty), gdyż cały przedział \langle3,4) zawiera się w przedziale (1,5\rangle.

Zadanie. Wyznacz różnicę przedziałów: (-\infty,4\rangle \setminus (5,\infty).

Narysujmy te przedziały na jednej osi liczbowej:

przedziały (-\infty,4\rangle oraz (5,\infty) na osi liczbowej

Przedziały nie zachodzą na siebie (są rozłączne). Zatem (-\infty,4\rangle\setminus(5,\infty) = (-\infty,4\rangle, gdyż żadnej liczby z przedziału (-\infty,4\rangle nie odrzucamy.

przedział (-\infty,4\rangle na osi liczbowej
(różnica przedziałów: (-\infty,4\rangle\setminus(5,\infty))