Rozwiązywanie nierówności kwadratowych
Rozwiązując nierówność kwadratową, szukamy tych wartości x, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości zgodne ze znakiem nierówności, czyli dodatnie, ujemne, nieujemne lub niedodatnie.
Najwygodniej jest naszkicować wykres odpowiedniej funkcji kwadratowej i odczytać z niego właściwe przedziały. Aby wykonać taki szkic, należy najpierw wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązać odpowiadające jej równanie kwadratowe.
W praktyce przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych najważniejsze są:
- miejsca zerowe funkcji
- kierunek ramion paraboli
Przykład. Rozwiąż nierówność: 5x^{2} - x - 4 \ge 0.
Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe funkcji, rozwiązując równanie:
5x^{2} - x - 4 = 0
Obliczamy deltę:
\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4\cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81
\Delta > 0, zatem mamy dwa miejsca zerowe:
x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot 5} = \frac{1-9}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}
x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot 5} = \frac{1+9}{10} = \frac{10}{10} = 1
Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej:
Ponieważ a = 5 > 0, ramiona paraboli są skierowane do góry. Szkic wykresu wygląda więc następująco:
Nie musimy rysować dokładnego wykresu. Wystarczy szkic, który pozwoli określić, dla jakich x funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Ze szkicu odczytujemy te wartości x, dla których:
f(x) \ge 0
Otrzymujemy:
x \in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup[ 1,\infty)
Krańce przedziałów są domknięte, ponieważ szukamy wartości większych lub równych 0, a w miejscach zerowych funkcja przyjmuje właśnie wartość 0.
Możemy również zapisać rozwiązanie w postaci nierówności:
x \le -\frac{4}{5} \vee x \ge 1
Analogicznie:
- dla 5x^{2} - x - 4 > 0:
x \in (-\infty,-\frac{4}{5})\cup(1,\infty) - dla 5x^{2} - x - 4 \le 0:
x \in [-\frac{4}{5},1] - dla 5x^{2} - x - 4 < 0:
x \in (-\frac{4}{5},1)
Przykład. Rozwiąż nierówność: -3x^{2} + 2x - 4 > 0.
Ponownie wyznaczamy miejsca zerowe funkcji, rozwiązując równanie:
-3x^{2} + 2x - 4 = 0
Obliczamy deltę:
\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4\cdot (-3) \cdot (-4) = 4 - 48 = -44
\Delta < 0, zatem funkcja nie ma miejsc zerowych.
Ponieważ a = −3 < 0, ramiona paraboli są skierowane do dołu. Szkic wykresu wygląda następująco:
Cały wykres leży poniżej osi Ox, więc funkcja dla każdego x przyjmuje wartości ujemne.
Szukamy wartości x, dla których:
f(x) > 0
Takich wartości nie ma, dlatego:
x \in \varnothing
czyli nierówność nie ma rozwiązań.
Gdybyśmy zamiast tego rozwiązywali nierówność:
-3x^{2} + 2x - 4 < 0,
to spełniałyby ją wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ cały wykres leży poniżej osi Ox. Otrzymalibyśmy:
x \in \mathbb{R}