0% przygotowania do matury

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych – przykłady

Prześledźmy rozwiązania dwóch nierówności kwadratowych:

Zadanie. Rozwiąż nierówność: 5x^{2} - x - 4 \ge 0.

Najpierw szukamy rozwiązań równania kwadratowego: 5x^{2} - x - 4 = 0. Obliczamy deltę:

\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4\cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81

\Delta > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot 5} = \frac{1-9}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}

x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot 5} = \frac{1+9}{10} = \frac{10}{10} = 1

Zaznaczamy na osi liczbowej powyższe rozwiązania (miejsca zerowe funkcji kwadratowej):

miejsca zerowe funkcji kwadratowej f(x) = 5x^{2} - x - 4

Ponieważ funkcja kwadratowa f(x) = 5x^{2} - x - 4 ma ramiona skierowane do góry to jej wykres będzie wyglądał mniej więcej następująco:

szkic wykresu funkcji f(x) = 5x^{2} - x - 4

Nie zależy nam na tym, by rysować dokładny wykres tej funkcji, wystarczy nam szkic, gdyż chcemy tylko wiedzieć dla jakich x funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. Ze szkicu wykresu odczytujemy te x, dla których wartości funkcji są \ge 0 (taką mamy nierówność do rozwiązania):

x \in (-\infty,-\frac{4}{5}\rangle\cup\langle 1,\infty)\hspace{4mm} (krańce przedziałów przy miejscach zerowych są domknięte, gdyż szukamy wartości \ge 0, a w miejscach zerowych wartości są właśnie równe 0).

I to już koniec. Wynikiem jest przedział. Możemy też ten przedział zapisać w formie nierówności: x \le -\frac{4}{5} \vee x \ge 1.

Analogicznie, jeśli mielibyśmy do rozwiązania nierówność:

  • 5x^{2} - x - 4 > 0, to wynikiem byłby x \in (-\infty,-\frac{4}{5})\cup(1,\infty) (tutaj krańce przedziału przy miejscach zerowych są otwarte, gdyż szukamy wartości większych od zera),
  • 5x^{2} - x - 4 \le 0, to wynikiem byłby x \in \langle-\frac{4}{5},1\rangle,
  • 5x^{2} - x - 4 < 0, to wynikiem byłby x \in (-\frac{4}{5},1).

Zadanie. Rozwiąż nierówność: -3x^{2} + 2x - 4 > 0.

Ponownie szukamy najpierw rozwiązań równania kwadratowego: -3x^{2} + 2x - 4 = 0. Obliczamy deltę:

\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4\cdot (-3) \cdot (-4) = 4 - 48 = -44

\Delta < 0, zatem nie mamy rozwiązań (miejsc zerowych).

Ponieważ funkcja kwadratowa f(x) = -3x^{2} + 2x - 4 ma ramiona skierowane do dołu to jej wykres będzie wyglądał mniej więcej następująco:

szkic wykresu funkcji f(x) = -3x^{2} + 2x - 4

Ze szkicu wykresu odczytujemy te x, dla których wartości funkcji są > 0 (taką mamy nierówność do rozwiązania). Jak widzimy nie ma takich x, zatem możemy jako rozwiązanie zapisać:

x \in \emptyset

Jeśli mielibyśmy do rozwiązania nierówność przeciwną: -3x^{2} + 2x - 4 < 0, to wszystkie x by spełniały tę nierówność, zatem jako rozwiązanie nierówności zapisalibyśmy: x \in \mathbb{R}.