Rozwiązywanie równań kwadratowych
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, najczęściej obliczamy wyróżnik \Delta (deltę):
Następnie sprawdzamy znak delty:
Przykład. Rozwiąż równanie: x^{2} + 5x + 4 = 0.
Obliczamy deltę:
a = 1, b = 5, c = 4
\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4\cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9
\Delta > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:
x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-5-3}{2} = \frac{-8}{2} = -4
x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-5+3}{2} = \frac{-2}{2} = -1
Dodatkowo zobaczmy jak wygląda wykres funkcji kwadratowej f(x) = x^{2} + 5x + 4:
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 4x + 2 = 0.
Zanim obliczymy deltę podzielmy równanie stronami przez 2:
2x^{2} - 4x + 2 = 0 \hspace{4 mm}|:2
x^{2} - 2x + 1 = 0\quad
Obliczamy deltę:
a = 1, b = -2, c = 1
\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0
\Delta = 0, zatem mamy jedno rozwiązanie:
x_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2\cdot 1} = \frac{2}{2} = 1
Dodatkowo zobaczmy jak wygląda wykres funkcji kwadratowej h(x) = 2x^{2} - 4x + 2:
Przykład. Rozwiąż równanie: -3x^{2} + 5x - 3 = 0.
Obliczamy deltę:
a = -3, b = 5, c = -3
\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4\cdot (-3) \cdot (-3) = 25 - 36 = -11
\Delta < 0, zatem nie mamy rozwiązań, czyli: x \in\varnothing.
Dodatkowo zobaczmy jak wygląda wykres funkcji kwadratowej g(x) = -3x^{2} + 5x - 3:
Kiedy można bez delty?
Nie zawsze obliczanie delty jest konieczne.
Przy niektórych równaniach możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
Przykład. Rozwiąż równanie: x^{2} - 2x + 1 = 0.
Zauważmy, że:
x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}\quad (kwadrat różnicy)
Zatem do rozwiązania mamy równanie:
(x - 1)^{2} = 0
Ponieważ jedynie 0 podniesione do kwadratu daje 0, to:
x - 1 = 0
x = 1
Przy równaniach typu ax^{2} + c = 0 wystarczy w standardowy sposób znaleźć wartość x:
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 9 = 0.
2x^{2} - 9 = 0
2x^{2} = 9 \hspace{4 mm}|:2
x^{2} = \frac{9}{2} \hspace{4 mm}|\sqrt{\phantom{x}}
|x| = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\quad (równanie z wartością bezwzględną)
x = \frac{3\sqrt{2}}{2}\quad \vee\quad x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}
Przykład. Rozwiąż równanie: 3x^{2} + 5 = 0.
3x^{2} + 5 = 0
3x^{2} = -5 \hspace{4 mm}|:3
x^{2} = -\frac{5}{3}\quad (sprzeczność, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny)
x \in\varnothing\quad (brak rozwiązań)
Natomiast przy równaniach typu ax^{2} + bx = 0 wystarczy wyciągnąć x przed nawias i rozważyć iloczyn równy 0:
Przykład. Rozwiąż równanie: 2x^{2} - 6x = 0.
2x^{2} - 6x = 0\hspace{4 mm}|:2
x^{2} - 3x = 0
x(x - 3) = 0\quad (wyciągnęliśmy x przed nawias)
x = 0\quad \vee\quad x - 3 = 0\quad (iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0)
x = 0\quad \vee\quad x = 3
Pamiętajmy, że powyższe przypadki można oczywiście rozwiązać stosując deltę. Rozwiązanie równania kwadratowego z wykorzystaniem delty jest rozwiązaniem uniwersalnym – działa zawsze.