0% przygotowania do matury

Skracanie liczb

Skracać dwie liczby w ułamku (jedną z licznika i drugą z mianownika) można tylko wtedy, gdy mają wspólny dzielnik.

\frac{6}{3} = \frac{2}{1} = 2\hspace{4mm} (wspólny dzielnik to 3)

\frac{8x}{2} = \frac{4x}{1} = 4x\hspace{4mm} (wspólny dzielnik to 2)

\frac{8x^{\cancel{2}}}{5\cancel{x}} = \frac{8x}{5}\hspace{4mm} (wspólny dzielnik to x)

\frac{15x^2\cancel{(x + 1)}}{6\cancel{(x+1)}} = \frac{5x^{2}}{2}\hspace{4mm} (wspólne dzielniki to 3 i (x+1))

\frac{15x^2(x + 1) + 3}{3(x+1)} = ...

Na chwilę się zatrzymajmy, w mianowniku mamy sumę, nie możemy zatem skracać, ale widzimy że licznik jest podzielny przez 3 i mianownik też. Wyłączmy zatem 3 przed nawias w liczniku i skróćmy z mianownikiem:

...\ = \frac{\cancel{3}(5x^2(x + 1) + 1)}{\cancel{3}(x+1)} = \frac{5x^2(x + 1) + 1}{x+1}

Niektórzy niepoprawnie skracają. Kusi ich, by na przykład w wyrażeniu: \frac{2 + 5x}{2} skrócić 2 z licznika z 2 z mianownika i napisać, że to to samo co: \frac{1 + 5x}{1}. Otóż NIE! \frac{2 + 5x}{2} \ne \frac{1 + 5x}{1}! Nie można skracać, gdy w liczniku lub w mianowniku głównym działaniem jest suma lub różnica! Dopiero o ile można, to wyciąga się pewien czynnik przed nawias i jeśli ma on wspólny dzielnik z licznikiem lub mianownikiem, to robimy skracanie. Pamiętajmy o tym!

Jeszcze kilka przykładów:

\frac{6 + 6x}{2} = \frac{6(1 + x)}{2} = \frac{3(1 + x)}{1} = 3(1 + x)

\frac{x}{x^{2} + 5x} = \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(x + 5)} = \frac{1}{x + 5}

\frac{4x + 2}{x}\hspace{4mm} (nie można skrócić)

\frac{x^2 + 4x}{x^{2} + 6x} = \frac{\cancel{x}(x + 4)}{\cancel{x}(x + 6)} = \frac{x+4}{x+6}