Skracanie wyrażenia wymiernego
Czasami wyrażenie wymierne można skrócić (podobnie jak ułamek: w końcu wyrażenie wymierne też jest ułamkiem). Szczególnie wyrażenia wymierne, które dostajemy na maturze są tymi, które można skracać (CKE chce sprawdzić czy umiemy to robić).
Aby skrócić wyrażenie wymierne \frac{P(x)}{Q(x)} zarówno wielomian P(x) z licznika jak i wielomian Q(x) z mianownika należy rozłożyć na czynniki. Pamiętajmy jednak, by przed skracaniem wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Przykład. Skróć wyrażenie \frac{x+2}{x^{2}-x-6}.
Wyznaczmy dziedzinę wyrażenia wymiernego. Mianownik musi być różny od 0, zatem obliczmy dla jakich x mianownik ma wartość 0:
x^{2}-x-6 = 0\hspace{4mm} (mamy równanie kwadratowe)
\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 > 0, czyli mamy dwa rozwiązania:
x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2\cdot (-1)} = \frac{-1 - 5}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3
x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2\cdot (-1)} = \frac{-1 + 5}{-2} = \frac{4}{-2} = -2
Zatem powyższe wartości x należy odrzucić z dziedziny: D = \mathbb{R}\setminus\{-2, 3\}.
Dziedzina jest określona. Możemy przystąpić do skracania wyrażenia wymiernego. Z licznikiem nie ma co robić, bo jest wielomianem stopnia 1, zajmijmy sie zatem mianownikiem. W mianowniku mamy wielomian stopnia 2, zatem rozłóżmy go na czynniki. Deltę już liczyliśmy przy okazji wyznaczania dziedziny, znamy więc miejsca zerowe i możemy zapisać postać iloczynową:
x^{2}-x-6 = (x-3)(x-(-2)) = (x-3)(x+2)
Możemy już nasze wyrażenie wymierne zapisać w nowej postaci:
\frac{x+2}{x^{2}-x-6} = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)}
Jak widać i w liczniku i w mianowniku występuje czynnik (x+2), możemy go zatem skrócić:
\frac{\cancel{x+2}}{(x-3)\cancel{(x+2)}}= \frac{1}{x-3}
To wszystko. Skróciliśmy wyrażenie wymierne.
Przykład. Skróć wyrażenie \frac{2x^{2}-x-1}{x^{3}-x^{2}+3x-3}.
Najpierw oczywiście wyznaczmy jego dziedzinę. Mianownik musi być różny od 0, zatem obliczmy dla jakich x mianownik ma wartość 0:
x^{3}-x^{2}+3x-3 = 0\hspace{4mm} (mamy równanie wielomianowe)
x^{2}(x-1)+3(x-1) = 0\hspace{4mm} (grupujemy wyrazy)
(x-1)(x^{2}+3) = 0\hspace{4mm} (czynnika (x^{2}+3) już dalej nie rozłożymy, gdyż jest on postaci x^{2}+b)
x-1 = 0\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^2+3 = 0
x = 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x^2 = -3\hspace{4mm} (drugie równanie nie ma rozwiązania, gdyż zawsze x^{2} \ge 0)
Zatem mamy tylko jedno rozwiązanie: x = 1. Czyli tylko dla x = 1 w mianowniku mamy 0, zatem 1 należy odrzucić z dziedziny, co zapisujemy:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{1\right\} lub krócej: D: x \ne 1.
Dziedzina jest określona. Możemy przystąpić do skracania wyrażenia wymiernego. Zapiszmy licznik w postaci iloczynowej (czyli rozłóżmy wielomian 2x^{2}-x-1 na czynniki):
2x^{2}-x-1 jest wielomianem stopnia drugiego, więc rozkładamy go na czynniki poprzez obliczenie delty:
2x^{2}-x-1 = 0
\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:
x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2\cdot2} = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
x_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2\cdot2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1
Czyli 2x^{2}-x-1 możemy zapisać w postaci iloczynowej:
2x^{2}-x-1 = 2(x+\frac{1}{2})(x-1)
Zapiszmy teraz mianownik w postaci iloczynowej. Mamy już to zrobione, bo podczas szukania dziedziny mianownik rozłożyliśmy właśnie do postaci iloczynowej:
x^{3}-x^{2}+3x-3 = (x-1)(x^{2}+3)
Zapisujemy nasze wyrażenie wymierne w nowej postaci:
\frac{2x^{2}-x-1}{x^{3}-x^{2}+3x-3} = \frac{2(x+\frac{1}{2})(x-1)}{(x-1)(x^{2}+3)}
Jak widać i w liczniku i w mianowniku występuje czynnik (x-1), zatem go skracamy:
\frac{2(x+\frac{1}{2})\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x^{2}+3)} = \frac{2(x+\frac{1}{2})}{x^{2}+3}
Nic więcej nie możemy skrócić. Dokonaliśmy skrócenia wyrażenia wymiernego.
Po co skracamy wyrażenia wymierne? Aby je uprościć. Nieraz wyrażenie jest takie, że uda nam się skrócić więcej jak jeden czynnik. Wtedy upraszczamy nasze wyrażenie jeszcze bardziej. A jak mamy prostsze wyrażenie, to prościej je później dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.
A dlaczego należy dziedzinę wyznaczyć na początku, przed skracaniem? Podczas skracania, usuwamy z mianownika pewne czynniki, przez co rozszerzamy dziedzinę. W naszym przykładzie skróciliśmy czynnik (x-1). To on powodował, że z dziedziny usunęliśmy 1. Po skróceniu, nasze nowe wyrażenie \frac{2(x+\frac{1}{2})}{x^{2}+3} mimo tego, że jest równe co do wartości wyrażeniu przed skróceniem: \frac{2(x+\frac{1}{2})(x-1)}{(x-1)(x^{2}+3)} to jednak ma inną, szerszą dziedzinę: D = \mathbb{R}. Dlatego tak ważne jest, by przed skracaniem wyznaczyć dziedzinę.
Jeśli nasze wyrażenie wymierne już na początku jest zapisane w postaciach iloczynowych, np: \frac{(x-2)(x+3)}{3(x+3)^{2}(x-2)} to od razu przystępujemy do skracania, wcześniej oczywiście wyznaczając dziedzinę:
D = \mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}
\frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x+3)}}{3(x+3)^{\cancel{2}}\cancel{(x-2)}} = \frac{1}{3(x+3)}\hspace{4mm} (skróciliśmy czynniki (x-2) i (x+3))