0% przygotowania do matury

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Jeśli potrzebujemy zsumować n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to możemy skorzystać ze wzoru:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\cdot n

a_{1} to pierwszy wyraz ciągu, zaś a_{n} to n-ty wyraz ciągu. Czyli jeśli będziemy chcieli policzyć sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, musimy mieć a_{1} i a_{20}.

Nie zawsze jednak mamy podany wyraz a_{n}. Wtedy możemy skorzystać ze wzoru:

S_{n} = \frac{2a_{1} + (n-1)\cdot r}{2}\cdot n

Zadanie. Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o a_{1}=12 i r = -4.

Trzydzieści początkowych wyrazów czyli n = 30. Skorzystamy z drugiego wzoru na sumę (bo nie mamy wyrazu a_{30}):

S_{n} = \frac{2a_{1} + (n-1)\cdot r}{2}\cdot n

S_{30} = \frac{2\cdot12 + (30-1)\cdot (-4)}{2}\cdot 30 = \frac{24 + 29\cdot (-4)}{2}\cdot 30 = \frac{24-116}{2}\cdot 30 = \frac{-92}{2}\cdot 30 = -46\cdot 30 = -1380

Otrzymaliśmy ujemną sumę, gdyż większość z trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest ujemna.