Sześcian różnicy

Sześcian różnicy można rozpisać:

Wzór ten jest skróceniem obliczeń:

(a-b)^{3} = (a-b)^{2}\cdot(a-b) = ...

Do czynnika (a-b)^{2} stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

...\ = (a^{2} - 2ab + b^{2})\cdot(a-b) = ...

Wymnażamy teraz nawiasy i robimy redukcję wyrazów podobnych:

...\ = a^{3} - 2a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b + 2ab^{2} - b^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}

Zobaczmy jak sześcian różnicy działa w praktyce:

(x - 2)^{3} = x^{3} - 3\cdot x^{2}\cdot2 + 3\cdot x\cdot2^{2} - 2^{3} = x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8

(1 - 3x)^{2} = 1^{3} - 3\cdot 1^{2}\cdot3x + 3\cdot 1\cdot(3x)^{2} - (3x)^{3} = 1 - 3x + 9x^{2} - 27x^{3}

Jeśli mamy do policzenia np. (5 - 3)^{3} to oczywiście nie stosujemy wzoru skróconego mnożenia, tylko od 5 odejmujemy 3 i podnosimy do trzeciej potęgi:

(5 - 3)^{3} = 2^{3} = 8