6. Ciągi
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają zależność:
a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} dla n \ge 2
Czyli środkowy z tych wyrazów jest zawsze średnią arytmetyczną swoich najbliższych sąsiadów (wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego).
Ta zależność jest szczególnie przydatna w zadaniach, w których mamy podane trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
Przykład. Liczby (3,x,3x) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby.
Skoro są to trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, możemy zastosować powyższą zależność:
x = \frac{3 + 3x}{2}
Obliczamy x:
x = \frac{3 + 3x}{2}\quad |\cdot 2
2x = 3+3x
-x = 3\quad |\cdot(-1)
x = -3
Czyli x = -3, a szukane liczby to (3,x,3x) = (3,-3,-9).